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- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Frontal com a cor castanha-amarelada (ocre)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Horizontal com a cor azul (turquesa claro)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Lateral com a cor verde.
- a representação axonométrica dos eixos coordenados e de pontos, rectas, segmentos de recta, figuras e sólidos com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.
BREVE DEFINIÇÃO:
Esta família de poliedros, descrita pelo matemático, físico e inventor Arquimedes (287-212 a.C.) e redescoberta pelo matemático e astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), compreende todos os poliedros uniformes convexos de faces regulares, de dois ou três tipos, num total de treze sólidos diferentes.
Os sólidos arquimedianos podem ser designados por poliedros semi-regulares com características particulares de simetria, que os diferencia da família de prismas e de antiprismas semi-regulares, que pertencem ao grupo de simetria diedral (de faces laterais equiláteras quadradas e triangulares, respectivamente) e que constituem, por si só, um grupo infinito de poliedros).
Os vértices de cada sólido arquimediano são sempre congruentes, porque neles se intersecta o mesmo tipo e o mesmo número de faces, embora em apenas dois deles as arestas sejam também congruentes. Quando um sólido reúne a particularidade de ter vértices e arestas congruentes, pertence à família dos sólidos quasi-regulares, que, além dos côncavos, inclui apenas dois convexos, que são arquimedianos. Estes dois sólidos são designados de sólidos quasi-regulares; enquanto que os restantes onze são semi-regulares.
Na definição de Peter Cromwell, no seu excelente livro "Polyhedra", de 1997: os treze sólidos arquimedianos são poliedros convexos com arestas de igual dimensão e com um arranjo similar de polígonos regulares convexos em torno de cada cada vértice, de dois ou mais tipos diferentes, não se intersectando entre si.
Sete sólidos arquimedianos são obtidos através de truncagens efectuadas sobre os sólidos platónicos, conforme veremos adiante: o cuboctaedro, o icosidodecaedro, o tetraedro truncado, o cubo truncado, o octaedro truncado, o dodecaedro truncado e o icosaedro truncado.
Dois arquimedianos são obtidos por expansão de sólidos platónicos: o rombicuboctaedro e o rombicosidodecaedro.
Outros dois arquimedianos, o rombicuboctaedro e o rombicosidodecaedro, são obtidos por expansão dos nove arquimedianos referidos anteriormente (segundo Alicia Stott referiu, em 1910, no livro "Geometrical Deduction of Semiregular from Regular Polytopes and Space Fillings" e Ball e Coxeter, em 1987 no livro "Mathematical Recreations and Essays"). Outros autores (como Wells, em 1991, no "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry") referem que estes sólidos podem ser obtidos truncando outros sólidos arquimedianos, o que não é completamente correcto, visto que é necessário modificar os rectângulos obtidos pela truncagem, de modo a que se transformem em quadrados (segundo Ball, Coxeter e Cromwell nas fontes já citadas).
Os dois arquimedianos restantes, o cubo achatado e o dodecaedro achatado, são obtidos expandindo as faces do cubo e do dodecaedro e efectuando, simultaneamente, uma ligeira torção. Os espaços remanescentes são então preenchidos com triângulos equiláteros (Wells, 1991).
BIBLIOGRAFIA / INFOGRAFIA:
- Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 136, 1987.
- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, Dover Publications, 1973 (2ª ed.)
- Cromwell, Peter Polyhedra Cambridge University Press, 2004 (3ª Ed.)
- Cundy, H. and Rollett, A. Mathematical Models Tarquin Publications, 1981(3ª Ed.)
- Holden, Alan Shapes, Space and Symmetry Dover publications, 1991(reedição)
- Jamnitzer, Wentzel Perspectiva Corporum Regularium, Ediciones Siruela, 2006
- Pugh, A. Polyhedra: A Visual Approach Berkeley: University of California Press, 1976.
- Stott, A. B. "Geometrical Deduction of Semiregular from Regular Polytopes and Space Fillings." Amsterdam 11, 3-24, 1910.
- Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 6-8, 1991.
- Wenninger, Magnus Dual Models Cambridge University Press, 1983
- Wenninger, Magnus Polyhedron Models Cambridge University Press, 1975 (2ª ed.)
- les polyèdres semi-réguliers d'Archimède - une balade dans le monde des polyèdres
- Archimedean Solid no Wolfram mathworld
- Virtual Polyhedra - George Hart
- Archimedean solid na Wikipedia
- Stella4D Manual - Robert Webb
- Veloso, Eduardo Poliedros, in Geometria: Temas Actuais - Instituto de Inovação Educacional, 2000
Alguns dos sólidos seguintes têm designações diferentes, consoante as fontes consultadas. Os nomes indicados foram seleccionados após uma pesquisa comparativa sobre o assunto. O termo "achatado" para os dois últimos arquimedianos da tabela seguinte foram traduzidos a partir da palavra "snub" por Eduardo Veloso no seu livro "Geometria - Temas Actuais".
ARQUIMEDIANOS QUASI-REGULARES (gifs animados do software Poly):
ARQUIMEDIANOS SEMI-REGULARES (gifs animados do software Poly):
REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE UM CUBOCTAEDRO E DE UM CUBO TRUNCADO
As construções seguintes correspondem à Representação Axonométrica Ortogonal de um cubo (situado no primeiro triedro, com uma face assente em cada um dos Planos Coordenados) seccionado, em cada vértice, pelo plano perpendicular ao eixo de simetria de rotação correspondente.
O Sub-Sistema Axonométrico é o Trimétrico, fazendo o eixo axonométrico z ângulos iguais a 120º e 116º, respectivamente, com os eixos axonométricos x e y.
Esta construção permite visualizar o processo de truncatura (ou truncagem) de um sólido platónico (o cubo) que nos permite obter, entre outros, dois sólidos Arquimedianos diferentes:
E os sólidos desta construção são os seguintes:
o cubo truncado
Como se disse acima, é um sólido semi-regular com faces regulares de dois tipos diferentes (8 triângulos e 6 octógonos) e vértices congruentes, porque neles se intersecta sempre o mesmo tipo de polígonos: 8.8.3. (isto é, octógono-octógono-triângulo). Apesar de todas as suas arestas terem igual dimensão, não são congruentes, porque nelas não se intersecta sempre o mesmo tipo de faces (note-se que tanto podem ser definidas pela intersecção entre um triângulo e um octógono, como por dois octógonos).
Note-se que, na construção seguinte, o cubo truncado será definido quando os vértices C e A se situarem exactamente na posição dos vértices correspondentes do octógono regular desenhado a azul no rebatimento do Plano Coordenado Frontal. A representação axonométrica deste sólido será bastante simples se partirmos da noção de que, nesta posição, as faces octogonais regulares se projectam em verdadeira grandeza nos planos coordenados.
o cuboctaedro
É um sólido quasi-regular, de faces regulares quadradas (6) e triangulares (8) e em que tanto as arestas como os vértices são congruentes, porque em cada uma se intersectam, sempre, um quadrado e um triângulo equilátero e em cada um se intersecta sempre o mesmo tipo de polígonos: 3.4.3.4. (isto é, triângulo-quadrado-triângulo-quadrado.).
Na construção seguinte, o cuboctaedro ficará definido quando o vértice C atingir a posição do ponto médio da aresta do cubo (este ponto está desenhado a vermelho, tanto no rebatimento como na axonometria, unidos por uma linha vermelha, a traço interrompido, perpendicular à charneira do reatimento).
Paral além destes dois sólidos, a construção permite-nos ainda visualizar os seguintes:
o cubo, quando A, B e C coincidirem.
um cubo truncado, embora não Arquimediano, nas restantes localizações dos vértices A, B e C.
REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE UM OCTAEDRO TRUNCADO
As construções seguintes correspondem a Representações Axonométricas Ortogonais de um Octaedro Truncado (situado no espaço do primeiro triedro e construído a partir de um cubo com uma face assente em cada um dos Planos Coordenados).
Conforme referido aqui, unindo os centros das faces adjacentes do cubo, obtemos um octaedro regular.
Se seccionarmos o octaedro, em cada vértice, pelo plano perpendicular ao eixo de simetria de rotação correspondente, obteremos um octaedro truncado. Quando as faces quadradas (preenchidas aqui a cinzento) atingem, neste desenho, a sua dimensão máxima, as faces hexagonais do sólido passam a ser regulares, definindo um sólido arquimediano que é semi-regular (cada um deles é definido pela intersecção entre hexágono-hexágono-quadrado, ou dito de outra forma, 6.6.4). Note-se que as arestas do octaedro truncado não são congruentes, porque tanto são definidas pela intersecção entre um quadrado e um hexágono, como pela intersecção entre dois hexágonos.
O octaedro-base só é visível quando as faces quadradas têm dimensão nula, degenerando nos pontos A, B, C, D, E F, que são os vértices do octaedro.
O Sistema Axonométrico é uma Trimetria, fazendo o eixo axonométrico z ângulos iguais a 120º e 113º, respectivamente, com os eixos axonométricos x e y.
Este desenho foi construído para permitir visualizar como é que o processo de truncatura (ou truncagem) de um sólido platónico (o octaedro) nos permite obter um sólido Arquimediano (aqui pode ver a construção de um cuboctaedro e de um cubo truncado a partir do cubo):
Para realizar a construção de um octaedro truncado, começamos pelo cubo para definir depois o octaedro, unindo os centros das faces adjacentes. Dividindo cada aresta do octaedro em três partes iguais, obteremos o octaedro truncado arquimediano. A divisão em três partes de uma das arestas do octaedro foi aqui realizada no rebatimento do plano coordenado horizontal (a azul-claro) segundo o método dos cortes. A determinação da projecção da aresta do cubo pertencente ao eixo z foi executada através do rebatimento do par de eixos x e z (a cor ocre).
REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE UM CUBOCTAEDRO
Nesta construção, um cubo situado no primeiro triedro e com uma face assente em cada um dos planos coordenados, representado no sistema axonométrico ortogonal, possibilitou a construção de um cuboctaedro.
O Cuboctaedro, pertencente à família dos arquimedianos, é um poliedro quasi-regular, porque tanto as suas arestas como os seus vértices são congruentes, isto é: todas as arestas têm igual dimensão, nelas se intersectando o mesmo tipo de faces (neste caso, um quadrado e um triângulo equilátero) e, em cada vértice, intersecta-se sempre o mesmo tipo e número de faces. Nos poliedros convexos, tal só acontece com outro sólido, também arquimediano: o icosidodecaedro (com faces pentagonais e triangulares equiláteras).
Para desenharmos o Cuboctaedro, basta unirmos os pontos médios das arestas consecutivas do cubo (desenhado aqui a traço contínuo vermelho), de modo a que, em cada face do cubo fique desenhado um quadrado mais pequeno, com uma das diagonais vertical e a outra diagonal paralela ao plano coordenado horizontal:
E finalmente, a axonometria ortogonal do cuboctaedro, sem as linhas de construção:
Os traçados relativos ao rebatimento dos dois pares de eixos coordenados foram desenhados com traço contínuo de cores diferentes (ocre para o rebatimento dos eixos que definem o plano coordenado frontal e verde para os que definem o plano coordenado lateral).
A projecção axonométrica dos eixos x e z faz, entre ambos, um ângulo de 120º, enquanto que os ângulos entre a projecção axonométrica destes dois eixos com a projecção axonométrica do eixo y são variáveis (o ângulo formado entre os eixos axonométricos z e y varia entre 92º e 158º).
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