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REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA - EXERCÍCIOS

Os enunciados apresentados são exercícios de aplicação do conteúdo assinalado no título respectivo.
Considera-se que os eixos estão orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente de baixo para cima; o eixo y, orientado positivamente da esquerda para a direira e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.
O(s) sólido(s) a representar estão situados no espaço do primeiro triedro.

Consulte AQUI as propostas de resolução dos exercícios de Representação Axonométrica apresentados nesta página.

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS - exercícios AX-O1 a AX-O13

AXONOMETRIAS CLINOGONAIS - exercícicios AX-C1 a AX-C8

AXONOMETRIAS A PARTIR DE REPRESENTAÇÃO TRIÉDRICA - exercícios AX-T1 a AX-T3

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DESTA PÁGINA

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS

AX-O1.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, com diferentes dimensões, de acordo com os seguintes dados:

- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z é igual a 130º
- O cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.

(adaptado dos exercícios 2, Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A de 2003 – 2ª fase e DGD-B de 1997 – 2ª fase)

 

AX-O2.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente à projecção da circunferência da base.
Represente, a traço interrompido, as linhas invisíveis.

Sistema axonométrico:
- as projecções dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
- xOz = 128º30' (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
- yOz = 103º (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Cone de revolução:
- a base pertence ao plano coordenado horizontal xy e tem 4 de raio;
- o centro é o ponto C (6; 4; 0);
- o vértice do sólido tem 8 de cota

Exame de 2002 Prova Modelo (Código 408)



AX-O3.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma triangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- Isometria
Prisma:
- a base de menor cota [ABC] do prisma pertence ao plano coordenado xy;
- o centro dessa base é o ponto M, com 3 de abcissa e 6 de afastamento;
- o vértice A pertence ao eixo y e tem 5,5 de afastamento;
- as arestas laterais medem 7 cm.

Exame de 2002 – 1ª fase 1ª Chamada (Código 408)



AX-O4.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
(A representação das projecções das circunferências das bases devera ser feita através da determinação rigorosa de, pelo menos, 8 pontos de cada uma das elipses.)
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente às projecções das circunferências das bases.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis que existam na representação axonométrica do sólido.

Sistema axonométrico:
- Isometria
Cilindro:
- a base de menor cota do sólido pertence ao plano coordenado horizontal e é tangente aos eixos x e y;
- o centro dessa base é o ponto C, que tem 3 de abcissa;
- a outra base tem 7 de cota.

Exame de 2003 – 1ª fase 1ª Chamada (Código 408)



AX-O5.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as suas arestas invisíveis.

Sistema axonométrico:
- as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
- xOz = 110º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
- y0z = 130º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Cubo:
- o sólido e tem uma face assente em cada um dos planos coordenados;
- as arestas medem 6 cm.

Exame de 2003 – 2ª fase (Código 408)

 

AX-O6.


Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades existentes no sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e y fazem, ambos, ângulos de 110º com o eixo axonométrico z.
Sólido:
- os dois prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (6; 1; 3) e B (6; 4; 3) são os vértices de maior abcissa da base inferior de um dos prismas;
- os pontos M (6; 4; 6) e N (6; 7; 6) são os vértices de maior abcissa da base superior do outro prisma;
- ambos os prismas têm 6cm de altura.

Exame de 2004 – 1ª Fase (Código 408)

 

AX-O7.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, invisibilidades existentes no sólido.

Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e z fazem, ambos, ângulos de 105º com o eixo axonométrico y.
Sólido:
- os dois prismas tem uma face lateral assente no plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (0; 0; 0) e B (5; 0; 0) definem uma aresta lateral de um dos prismas;
- o ponto B e o ponto C (8; 0; 0) definem uma aresta lateral do outro prisma;
- ambos os prismas têm as faces laterais quadradas.

Exame de 2004 – 2ª fase (Código 408)

 

AX-O8.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos rectângulos, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois paralelepípedos.

Sistema axonométrico:
- Isometria.
Sólido:
- a face [MNOP] de um dos paralelepípedos está contida no plano coordenado xy;
- o ponto O coincide com a origem dos eixos;
- o ponto N fica situado no eixo x e tem 3 de abcissa;
- o ponto P fica situado no eixo y e tem 7 de afastamento;
- as arestas perpendiculares à face [MNOP] medem 8 cm;
- o segundo paralelepípedo tem 1,5 cm de altura
- os pontos R (8; 0; 9,5), S (0; 0; 9,5) e T (0; 7; 9,5) são três vértices da sua face de maior cota.

Exame de 2005 – 1º Fase (Código 408)


AX-O9.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides pentagonais regulares, de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 131º30' com os eixos axonométricos z e x;
Pirâmides:
- ambas as pirâmides têm por base o pentágono regular [ABCDE], situado num plano horizontal com 7 de cota;
- o centro do pentágono é o ponto M, que tem 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o vértice A fica situado no plano coordenado lateral yz e tem 5 de afastamento;
- o vértice principal V de uma das pirâmides tem 10 de cota;
- o vértice principal V' da outra pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Exame de 2006 – 1ª fase (Código 408)



AX-O10.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Sistema axonométrico:
– as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
(xÔz) = 120° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z) - observaçºo:no original, este ângulo era de 110º
(yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Sólido:
– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respectivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
– o ponto V tem coordenadas positivas;
– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

Exame de 2007 - 1ª fase (Código 408)


AX-O11.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.

Sistema axonométrico:
– os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y
fazem, entre si, um ângulo de 120°.
Sólido:
– os pontos A (3; 3; 0) e B (3; 10; 0) são dois vértices da base [ABC] de um dos prismas;
– a segunda base deste prisma tem 0 de abcissa;
– os pontos D (3; 4,5; 0) e E (3; 8,5; 0) são dois vértices da base [DEF] do outro prisma;
– a segunda base deste prisma tem 7 de abcissa;
– ambos os prismas ficam situados para cima do plano horizontal xy.

Exame de 2007 - 2ª fase (Código 408)

 

AX-O12.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:
– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.
Prisma quadrangular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– as arestas das bases medem 3 cm;
– uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
– os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.
Cubo:
– a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
– os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

Exame de 2008 - 1ª fase (Código 708)

 

AX-O13.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.

Exame de 2009 - 2ª fase (código 708)

 

 

AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

 

AX-C1.

Construa a Perspectiva Cavaleira de um cilindro de revolução, considerando os seguintes:

Dados sobre o sistema axonométrico:
- O eixo axonométrico x faz 130º com o eixo axonométrico z
- As projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico
Dados sobre o cilindro:
- As bases do cilindro têm 3cm de raio e são paralelas ao plano coordenado lateral
- O centro da base de menor abcissa é o ponto C (6; 5; 6)
- O cilidro tem 6cm de altura
Determina, com rigor, as geratrizes de contorno aparente do cilindro.


AX-C2.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal) de uma pirâmide quadrangular regular, em perspectiva cavaleira, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico x faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos y e z;
ü as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.
Prisma:
- a base [ABCD] do sólido pertence ao plano coordenado horizontal xy;
- o centro da base é o ponto M, com 7 de abcissa e 4 de afastamento;
- o vértice A tem 9 de abcissa e 1 de afastamento;
- o vértice V do sólido tem 6 de cota.

Exame 2002 – 1ª fase 2ª Chamada (Código 408)

 

AX-C3.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal) de um cone de revolução, em perspectiva militar, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente a projecção da circunferência da base.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis que existam na representação axonométrica do sólido.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z;
- as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
Cone:
- a base do sólido pertence ao plano coordenado horizontal xy e tem 3 cm de raio;
- o centro da base e o ponto C, com 5 de abcissa e 5 de afastamento;
- o eixo do sólido mede 9 cm, e o vértice tem cota positiva.

Exame 2002 – 2ª fase (Código 408)


AX-C4.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um prisma quadrangular oblíquo, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e z;
- as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.
Prisma:
- as bases do sólido são quadrados de lados paralelos aos eixos x e y;
- a base de menor cota esta assente no plano coordenado horizontal xy;
- as arestas das bases medem 3 cm;
- O vértice A (6; 6; 0) é um dos vértices de maior afastamento da base inferior do sólido;
- O vértice G, com 3 de abcissa, 3 de afastamento e 6 de cota, é o oposto do vértice A.

Exame 2003 – 1ª fase 2ª Chamada (Código 408)

 

AX-C5.

Construa uma representação axonométrica clinogonal, em perspectiva cavaleira, de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz um ângulo de 145º com o eixo axonométrico x
- as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico
Sólido:
- o quadrado horizontal [ABCD] é uma face lateral de ambos os prismas
- os pontos A (5; 5; 5) e B (0; 5; 5) definem uma aresta da base [ABE] de um dos prismas
- o vértice E fica situado acima do plano do quadrado
- os pontos A e D (5; 0; 5) definem uma aresta da base [ADG] do outro prisma
- o vértice G fica situado abaixo do plano do quadrado

Exame de 2005 – 2ª Fase (Código 408)



AX-C6.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva militar, de um sólido composto por um cilindro e por um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido resultante da justaposição do cone com o cilindro.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z;
- as projectantes fazem Ângulos de 60º com o plano axonom6trico.
Cone e cilindro:
- os dois sólidos têm um eixo vertical comum;
- a base do cone tem 4 cm de raio e centro no ponto C (4; 4; 11);
- o cilindro tem 2,5 cm de raio, e uma das suas bases fica situada no mesmo plano da base do cone;
- o centro da outra base do cilindro é o ponto C', que tem 18 de cota
- o vértice V do cone pertence ao plano coordenado horizontal xy

Exame de 2006 2º Fase (Código 408)


AX-C7.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolucao, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visiveis do sólido resultante.

Sistema axonometrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Cilindros:
– os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;
– o ponto O’ (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura

Exame de 2008 - 2ª fase (Código 708)

 

AX-C8.

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Exame de 2009 - 1ª fase (Código 708)

 

 

AXONOMETRIAS A PARTIR DE REPRESENTAÇÃO TRIÉDRICA

Nos exames nacionais de Geometria Descritiva A (código 708) dos anos lectivos de 2005/2006 e de 2006/2007, era pedida a representação axonométrica de uma forma tridimensional, dada em tripla projecção ortogonal, pelas suas projecções (projecção frontal ou "vista de frente"; projecção horizontal ou "vista de cima" ou "planta" e projecção lateral ou "vista lateral esquerda").

O/a aluno/a teria de, a partir destas três projecções, conseguir conceber o objecto em questão e saber representá-lo na axonometria pedida (desenhando, a traço expressivo apenas as suas arestas visíveis, deixando as restantes a traço fino).

Porque não são apresentadas, no enunciado do exame, as medidas das arestas do sólido (cotagens), o/a aluno/a deverá medi-las, no próprio enunciado, razão pela qual aconselho a imprimir a página com a representação do sólido a partir do exame original (página 5 dos enunciados dos exames, disponível a partir das hiperligações das imagens abaixo, uma vez que estas não estão em tamanho real).

 

AX-T1.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema Axonométrico: Isometria.

Exame de 2006 - 1ª fase (Código 708)

AX-T2.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada, em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- dimetria
- os eixos axonométricos y e z fazem, ambos, ângulos de 130º com o eixo axonométrico x.

Exame de 2006 - 2ª fase (Código 708)


AX-T3.

Construa uma representação axonométrica ortogonal da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
– trimetria:
As projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
– o ângulo formado pelos eixos x e z é de 105°;
– o ângulo formado pelos eixos y e z é de 120°.

Exame de 2007 - 2ª fase (Código 708)


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