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EXERCÍCIOS DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE SÓLIDOS RESOLVIDOS PASSO-A-PASSO

Os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.
Cada construção apresenta, na barra inferior, botões que permitem retroceder ou avançar na construção.

As construções desta página estão disponíveis a partir deste capítulo e deste capítulo do Livro GeoGebra Descriptive Geometry Applets (step-by-step).

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:
         
(AXONOMETRIAS ORTOGONAIS)
               
(AXONOMETRIAS CLINOGONAIS)
         
(CONSTRUÇÕES REALIZADAS COM O COMPASS AND RULER)
               
REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR UM CILINDRO DE REVOLUÇÃO E UM CONE DE BASE CIRCULAR

Determine a representação axonométrica militar de um sólido composto por um cilindro de revolução e um cone de base circular situados no primeiro triedro, sabendo que:
- o eixo axonométrico z' define um ângulo de 145º com o eixo axonométrico x;
- as projectantes têm a inclinação de 60º em relação ao plano axonométrico
- o segmento de reta que tem A (6; 6; 0) e V (6; 6; 10) por extremos é uma geratriz comum aos dois sólidos;
- as circunferências que delimitam a base do cone e a base do cilindro que tem cota nula são complanares, tangentes exteriores e de raio igual;
- o cilindro é tangente ao plano coordenado lateral.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 263 e figura na página 311 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR UM PRISMA RECTO E UMA PIRÂMIDE RECTA

Determine a representação axonométrica cavaleira de um sólido composto por uma pirâmide recta e um prisma triangular recto situados no primeiro triedro, sabendo que:
- os eixos axonométricos y' e z definem um ângulo de 135º
- as projectantes têm a inclinação de 55º em relação ao plano axonométrico
- o quadrado [ABCD], paralelo ao plano coordenado horizontal, é a base da pirâmide e, simultaneamente, a face lateral de maior cota do prisma;
- os pontos M (1; 5; 8) e N (8; 5; 8) definem uma das medianas de [ABCD];
- o prisma tem bases regulares paralelas ao plano coordenado frontal;
- a pirâmide tem 7cm de altura, tendo o vértice cota superior à base.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 262 e figura na página 311 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO ISOMÉTRICA DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR DOIS PRISMAS TRIANGULARES RECTOS

Determine a representação isométrica de um sólido composto por dois prismas triangulares retos de faces laterais quadradas, situados no primeiro triedro, sabendo que:
(6, 3; 0) e B (6; 8; 0) é a aresta de maior abcissa da base do primeiro prisma e a aresta de menor abcissa da face lateral do segundo prisma;
- o primeiro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado lateral, enquanto que o segundo prisma tem uma base de cota nula.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 245 e figura na página 286 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR UM PRISMA RECTO E UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA

Determine a representação axonométrica de um sólido composto por um prisma reto de bases pentagonais regulares e uma pirâmide de base quadrada, situados no primeiro triedro, sabendo que:
- o eixo axonométrico y' define ângulos de 125º e 120º, respetivamente, com os eixos axonométricos x' e z';
- os pontos M (5, 5; 6) e A (5; 5; 10) são, respetivamente, o centro e um dos vértices de uma das bases do prisma;
- a outra base do prisma tem afastamento nulo;
- a aresta de menor cota e maior afastamento do prisma coincide com a aresta de menor afastamento da base da pirâmide;
- a base da pirâmide é paralela ao plano coordenado horizontal e o seu vértice coincide com o ponto M.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 243 e figura na página 284 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR UM PRISMA RECTO E UMA PIRÂMIDE OBLÍQUA

Determine a representação axonométrica de um sólido composto pela justaposição de um prisma recto e uma pirâmide oblíqua situados no primeiro triedro, sabendo que:
- o eixo axonométrico y' define ângulos de 115º com os eixos axonométricos x' e z';
- os vértices A (11; 0; 0) e B (6; 0; 0) definem uma das arestas da base [ABCD] da pirâmide, que tem cota nula;
- a pirâmide tem base quadrada e vértice em V (6; 0; 5);
- B, C e V são vértices da face lateral de maior abcissa do prisma, que tem bases triangulares regulares.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 242 e figura na página 283 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UMA PIRÂMIDE RECTA DE BASE HEXAGONAL REGULAR

Determine a representação axonométrica de uma pirâmide hexagonal reta de base regular com 10cm de altura, sabendo que:
- o eixo axonométrico y' define ângulos de 115º com os eixos axonométricos z' e x';
- a base da pirâmide tem afastamento nulo;
- os vértices A (6; 0; 2) e D (6; 0; 10) definem uma das diagonais maiores da base;
- o vértice tem afastamento positivo.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 239 e figura na página 280 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM HEXÁGONO REGULAR

Determine a representação, em axonometria cavaleira, de um hexágono regular paralelo ao plano coordenado frontal, sabendo que:
- os eixos axonométrico x' e z definem um ângulo de 130º entre si;
- as projetantes definem ângulos de 45º com o plano axonométrico;
- os vértices A (5; 8; 8) e D (5; 8; 0) definem uma das suas diagonais maiores.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 260 e figura na página 306 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM HEXÁGONO REGULAR

Determine a representação axonométrica de um hexágono regular de coordenadas positivas e paralelo ao plano coordenado horizontal, sabendo que:
- o ângulo entre os eixos axonométricos x' e z' é 115º;
- o ângulo entre os eixos axonométricos z' e y' é 125º;
- A (3; 5; 2) e B (3; 9; 2) são dois dos seus vértices.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 236 e figura na página 276 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM PENTÁGONO REGULAR

Determine a representação axonométrica de um pentágono regular paralelo ao plano coordenado frontal, sabendo que:
- o ângulo entre os eixos axonométricos x' e z' é 115º;
- o ângulo entre os eixos axonométricos z' e y' é 115º;
- M (5; 3; 6) é o centro do pentágono e A (5; 3; 2) um dos seus vértices.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 235 e figura na página 276 do manual "Duas por Três 11".

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR DOIS PRISMAS RECTOS

Constrói a representação isométrica de um sólido composto por dois prismas rectos de bases regulares e paralelas ao plano coordenado lateral situados no primeiro triedro, considerando os dados abaixo apresentados.

Dados sobre o prisma de bases quadradas:

  • os vértices A e D pertencem a uma das faces laterais do prisma e ao eixo x, tendo, respectivamente, 2 e 14 de abcissa

  • As bases têm 6 cm de aresta

Dados sobre o prisma triangular:

  • Todas as arestas do prisma têm 6cm de comprimento

  • O vértice M (8; 0; 6) pertence a uma aresta paralela ao eixo y, que pertence à base de maior abcissa do prisma.

Nesta primeira proposta de resolução, para determinação da altura do prisma triangular, optou-se pelo rebatimento do plano coordenado lateral sobre o plano axonométrico:

(EM CONSTRUÇÃO) 

 

Na proposta de resolução seguinte, foi construído, no rebatimento do plano coordenado horizontal, um triângulo equilátero com a medida do lado pedida, após o qual a sua altura (h) foi projectada e transportada para a recta vertical que contém o ponto médio da aresta [MN].

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA ORTOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO POR TRÊS CUBOS JUSTAPOSTOS

 

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um sólido composto por três cubos justapostos, de acordo com os seguintes dados:

- O ângulo definido entre os eixos axonométricos x' e z' é igual a 120º
- O ângulo definido entre os eixos axonométricos y' e z' é igual a 130º
- O cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado dos afastamentos.
- o cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.

(adaptado dos exercícios 2, Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A de 2003 – 2ª fase e DGD-B de 1997 – 2ª fase)

A proposta de resolução seguinte foi executada através do rebatimento dos planos coordenados lateral e frontal sobre o plano axonométrico, para determinação dos três coeficientes de redução.

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM SÓLIDO COMPOSTO (EXAME DE 2009 - 1ª FASE)

 

Exercício 4 do Exame Nacional de 2009 - 1ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no primeiro triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y' faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x' e z', respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

A proposta de resolução seguinte foi executada através do rebatimento do plano projectante que contém o eixo coordenado y sobre o plano axonométrico, para determinação da redução correspondente.

Note-se que o facto de as bases dos prismas serem paralelas ao plano axonométrico permite-nos desenhá-las em verdadeira grandeza.

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM CUBO

 

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um cubo situado no espaço do primeiro triedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y' define um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z'
– as projectantes definem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Cubo:
– a face [ABCD] do cubo é paralela ao plano coordenado lateral
A (4; 4; 0)
– o cubo tem 8cm de aresta
- o vértice B tem afastamento nulo.

A proposta de resolução seguinte foi executada através do rebatimento do lano projectante que contém o eixo coordenado y sobre o plano axonométrico, para determinação da redução correspondente, após o qual se rebateu o plano coordenado lateral e a projecção da face [ABCD] nesse plano sobre o plano axonométrico.

De referir ainda que, se o cubo tem duas faces paralelas ao plano coordenado lateral e se o plano coordenado frontal é paralelo ao plano axonométrico, então aquelas faces do cubo terão, necessariamente, orientação perpendicular ao plano axonométrico.

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA CLINOGONAL DE UM CUBO COM DUAS FACES PARALELAS AO PLANO AXONOMÉTRICO

As construções seguintes pretendem exemplificar um dos processos de resolução possível para a representação axonométrica clinogonal de cubos de igual aresta, situados no primeiro triedro de acordo com os dados abaixo apresentados.

No primeiro caso, o cubo é representado em axonometria cavaleira, considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados x e z é igual a 130º

- as projectantesdefinem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao plano coordenado lateral

- A (3; 2; 0)

- A aresta [BF] tem afastamento nulo.

Note-se que, neste caso, não é necessário sequer determinar a direcção de afinidade para resolvermos o exercício, pelo facto de uma das faces ser paralela ao plano coordenado lateral.

Para resolvermos o exercício, basta-nos, unicamente, determinar graficamente o coeficiente de redução correspondente ao eixo axonométrico x':

(EM CONSTRUÇÃO) 

 

No segundo caso, o cubo é representado também em axonometria cavaleira, mas considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados y e z é igual a 130º

- as projectantes definem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao plano coordenado frontal

- A (2; 3; 0)

- A aresta [BF] tem abcissa nula.

Neste caso, também não é necessário sequer determinar a direcção de afinidade para resolvermos o exercício, porque uma face do cubo é paralela ao plano coordenado frontal. Para resolvermos o exercício, bastar-nos-á determinar graficamente o coeficiente de redução correspondente ao eixo axonométrico y':

(EM CONSTRUÇÃO) 

 

No terceiro caso, o cubo é representado em axonometria planométrica, mas considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados y e z é igual a 140º

- as projectantes definem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao plano coordenado horizontal

- A (0; 2; 3)

- A aresta [BF] tem afastamento nulo.

Porque uma face do cubo é paralela ao plano coordenado horizontal, igualmente se torna desnecessário determinar a direcção de afinidade para a resolução do exercício.

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

(note-se que nas duas últimas situações, a ordem das notações dos vértices não corresponde ao sentido dos ponteiros do relógio)

 

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