O seguinte exercício fez parte do último teste de avaliação da minha turma e pode constituir um exemplo de preparação para o exame nacional que se avizinha.

Constrói a representação Axonométrica de um sólido composto por dois prismas rectos de bases regulares e paralelas ao plano coordenado lateral, situado no espaço do primeiro triedro, considerando os dados abaixo apresentados.

Dados sobre o sistema axonométrico

• Isometria

Dados sobre o prisma quadrangular:

• os vértices A e D pertencem a uma das faces laterais do prisma e ao eixo x, tendo, respectivamente, 2 e 14 cm de abcissa

• As bases têm 6cm de aresta

Dados sobre o prisma triangular:

• Todas as arestas do prisma têm 6cm de comprimento

• O vértice M (8; 0; 6) define uma aresta paralela ao eixo y, pertencente à base de maior abcissa do prisma

Põe em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Este exercício foi a seguir resolvido sequencialmente, pelo Método dos Cortes. Para melhor compreensão da sequência da construção, tanto o triângulo fundamental como os traçados prévios auxiliares necessários ao rebatimento dos planos coordenados horizontal e lateral foram desenhados a traço interrompido (embora não correspondam a quaisquer invisibilidades).

Nesta primeira proposta de resolução, para determinação da altura do prisma triangular, optou-se pelo rebatimento do plano coordenado lateral sobre o plano axonométrico:

Na proposta de resolução seguinte, foi construído, no rebatimento do plano coordenado horizontal, um triângulo equilátero com a medida do lado pedida, após o qual a sua altura (h) foi projectada e transportada para a recta vertical que contém o ponto médio do lado [MN].

Observação: note-se que apenas o prisma triangular pedido é semi-regular, porque tem faces equiláteras. O outro prisma é quadrangular de bases regulares, mas nunca semi-regular ou sequer regular.

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um conjunto de três cubos justapostos, de acordo com os seguintes dados:

- O ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z é igual a 120º
- O ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z é igual a 130º
- O cubo maior, com 8 cm de aresta, tem uma face assente em cada um dos planos coordenados
- A face de menor afastamento do cubo médio, com 4 cm de aresta, pertence à face de maior afastamento do cubo maior;
- Uma das arestas do cubo médio pertence ao eixo coordenado y.
- o cubo menor tem 2 cm de aresta e uma face assente no plano coordenado horizontal, outra na face de maior afastamento do cubo maior e outra ainda na face de maior abcissa do cubo médio.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

(adaptado dos exercícios 2, Grupo II dos Exames nacionais de DGD-A de 2003 – 2ª fase e DGD-B de 1997 – 2ª fase)

A proposta de resolução seguinte foi executada mediante o rebatimento dos planos coordenados lateral e frontal sobre o plano axonométrico, para determinação dos três coeficientes de redução. As notações atribuídas correspondem ao que se considera necessário para melhor compreensão do processo, ainda que não sejam obrigatórias (com a excepção das notações dos eixos axonométricos e respectiva intersecção).

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um cubo situado no espaço do 1.º triedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.

Cubo:
– a face [ABCD] do cubo é paralela ao plano coordenado lateral
– A (4; 4; 0)
– o cubo tem 8cm de aresta
- o vértice B tem afastamento nulo.

A proposta de resolução seguinte foi executada mediante o rebatimento do eixo coordenado y sobre o plano axonométrico, para determinação da redução correspondente, após o qual se rebateu o plano coordenado lateral e a projecção da face [ABCD] nesse plano sobre o plano axonométrico.

De referir ainda que, se o cubo tem duas faces paralelas ao Plano Coordenado Lateral e se o Plano Coordenado Frontal é paralelo ao Plano Axonométrico, então aquelas faces do cubo serão, por definição, perpendiculares ao Plano Axonométrico.

As construções seguintes pretendem exemplificar um dos processos de resolução possíveis para a representação axonométrica clinogonal de um cubo de igual dimensão, situado no espaço do primeiro triedro (e considerando os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda), de acordo com os dados abaixo apresentados.

Em qualquer uma das construções seguintes, o traço interrompido atribuido às arestas do cubo deveria ter uma espessura aproximada da do traço expressivo contínuo.

No primeiro caso, o cubo é representado em Perspectiva Cavaleira, considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados x e z é igual a 130º

- as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao Plano Coordenado Lateral

- A (3; 2; 0)

- A aresta [BF] pertence ao Plano Coordenado Frontal

Note-se que, neste caso, não é necessário sequer determinar a direcção de afinidade para resolvermos o exercício, pelo facto de uma das faces ser paralela ao Plano Coordenado Lateral. Tal torna desnecessário o rebatimento de qualquer um dos outros Planos Coordenados sobre o Plano Axonométrico.

Note-se que o facto de a aresta [BF] pertencer ao Plano Coordenado Frontal (plano zx) determina que estes dois vértices terão, necessariamente, afastamento nulo.

Para resolvermos o exercício, basta-nos, unicamente, determinar graficamente o coeficiente de redução correspondente ao eixo x:

No segundo caso, o cubo é representado também em Perspectiva Cavaleira, mas considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados y e z é igual a 130º

- as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao Plano Coordenado Frontal

- A (2; 3; 0)

- A aresta [BF] pertence ao Plano Coordenado Lateral

Neste caso, também não é necessário sequer determinar a direcção de afinidade para resolvermos o exercício, porque uma face do cubo é paralela ao Plano Coordenado Frontal. Tal torna igualmente desnecessário o rebatimento de qualquer um dos outros Planos Coordenados sobre o Plano Axonométrico.

Note-se que o facto de a aresta [BF] pertencer ao Plano Coordenado Lateral (plano zy) determina que estes dois vértices terão, necessariamente, abcissa nula.

Para resolvermos o exercício, bastar-nos-á determinar graficamente o coeficiente de redução correspondente ao eixo y:

No terceiro caso, o cubo é representado em Perspectiva Planométrica, mas considerando-se que:

- o ângulo entre a projecção dos eixos coordenados y e z é igual a 140º

- as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico

- o cubo tem 6cm de aresta

- a face [ABCD] é paralela ao Plano Coordenado Horizontal

- A (0; 2; 3)

- A aresta [BF] pertence ao Plano Coordenado Frontal

Porque uma face do cubo é paralela ao Plano Coordenado Horizontal, igualmente se torna desnecessário determinar a direcção de afinidade ou rebater qualquer um dos outros Planos Coordenados sobre o Plano Axonométrico.

Note-se que o facto de a aresta [BF] pertencer ao Plano Coordenado Frontal (plano zx) determina que estes dois vértices terão, necessariamente, afastamento nulo.

(note-se que nas duas últimas situações, a ordem das notações dos vértices não corresponde ao sentido dos ponteiros do relógio)