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REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE SÓLIDOS COMPOSTOS
Para facilitar a visualização e compreensão destas construções, optei por representar:
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Frontal com a cor castanha-amarelada (ocre)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Horizontal com a cor azul (turquesa claro)
- as construções relativas ao rebatimento do Plano Coordenado Lateral com a cor verde.
- a representação axonométrica dos eixos coordenados e de pontos, rectas, segmentos de recta, figuras e sólidos com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:

STELLA OCTANGULA

POLIEDROS DE KEPLER POINSOT

                       

REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DA STELLA OCTANGULA

A Stella Octangula é um poliedro composto definido pela justaposição entre um tetraedro regular e pelo seu dual (com as mesmas dimensões do tetraedro base), ambos com o mesmo centro, que se interpenetram, definindo um novo sólido.
Um poliedro composto terá vértices regulares se os vértices dos seus componentes corresponderem, todos, aos vértices de um único poliedro regular e terá faces regulares se os planos das faces dos seus componentes coincidirem com os planos das faces de um único poliedro regular.
A Stella Octangula é um dos cinco poliedros compostos regulares que existem, porque, conforme veremos a seguir:
- os vértices dos dois tetraedros recíprocos que a definem correspondem aos vértices de um cubo;
- as suas faces pertencem aos planos das faces de um octaedro regular;
- as arestas dos dois tetraedros recíprocos que a definem coincidem com as diagonais das faces do cubo.

Por outro lado, a Stella Octangula também pode ser considerada ou como a única estrelação do octaedro. Para percebermos como é que se obtém um poliedro estrelado, imagine-se que todas as faces do poliedro são prolongadas simetricamente até que, ao se intersectarem, definem novas arestas e novas faces, que dão origem a um novo poliedro. Se fizermos esta operação ao octaedro, obteremos dois tetraedros maiores que se intersectam, definindo a Stella Octangula.

Para desenhar a Stella Octangula, podemos partir de um cubo e, desenhando todas as suas doze diagonais faciais, obtemos os dois tetraedros regulares (conforme já vimos aqui, este é também o procedimento necessário para desenhar um octaedro regular a partir do cubo).
Outra forma de a desenhar é partir de um dodecaedro regular e unir oito dos seus vinte vértices.
Existe, contudo, um outro pormenor a reter da Stella Octangula: quatro dos seus "vértices" (os que definem as arestas a preto, paralelas ao plano coordenado horizontal, no desenho seguinte) correspondem aos pontos médios das arestas dos tetraedros maiores. Há, por esta razão, alguns autores não a consideram como um "verdadeiro" poliedro, no sentido literal do termo, mas antes um composto de dois poliedros, dado que os vértices de um poliedro devem, necessariamente, ser definidos pela intersecção de três arestas.
Por razões mais ou menos similares, também há autores que não consideram a "Figura de Skilling" como um poliedro, porque algumas das suas arestas são definidas pela intersecção de quatro faces.

O matemático renascentista Luca Pacioli estudou o conjunto dos dois tetraedros, dando-lhe o nome de “Octaedrum Elevatum”, porque podemos também construir a Stella Octangula justapondo tetraedros a cada uma das faces de um Octaedro. A Stella Octangula foi desenhada por Wentzel Jamnitzer em 1568, no seu maravilhoso “Perspectiva Corporum Regularium” e depois redescoberta por Johannes Kepler em 1619 no “Harmonices Mundi”.

Para melhor compreensão do exposto, na axonometria seguinte, as arestas que pertenceriam a um octaedro foram desenhadas a preto, enquanto que um dos tetraedros foi desenhado a vermelho e o outro a verde.

Os desenhos seguintes correspondem à representação da Stella Octangula,em Axonometria ortogonal, tendo por base uma construção prévia do cubo (desenhado a traço interrompido, ainda que neste caso este traçado não corresponda a qualquer invisibilidade).

 

No desenho seguinte, temos apenas a Stella Octangula e os eixos axonométricos:

 

Os traçados relativos ao rebatimento dos dois pares de eixos coordenados foram desenhados com traço interrompido de cores diferentes (ocre para o rebatimento dos eixos que definem o plano coordenado frontal e verde para os que definem o plano coordenado lateral).
A projecção axonométrica dos eixos x e z faz, entre ambos, um ângulo de 120º, enquanto que os ângulos entre a projecção axonométrica destes dois eixos com a projecção axonométrica do eixo y são variáveis (o ângulo formado entre os eixos axonométricos z e y varia entre 92º e 158º).

A consultar:
"Regular Polytopes" - H.S.M. Coxeter
“Tudo o que há num cubo...” - Eduardo Veloso (Educação & Matemática nº 26, 1993)
Stella Octangula no Site da WolframMathworld
Software Stella
Virtual Polyhedra - George Hart

 

poliedros de Kepler-Poinsot

Johannes Kepler (1571 - 1630) descreveu o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado na obra Harmonice Mundi. Louis Poinsot (1777–1859) descreveu o grande dodecaedro e o grande icosaedro. Os quatro sólidos são conhecidos como sólidos de Kepler-Poinsot.

 
pequeno dodecaedro estrelado - poliedro regular côncavo, composto de doze faces pentagramáticas. dual do grande dodecaedro.
pequeno dodecaedro estrelado

 

A primeira imagem conhecida do pequeno dodecaedro estrelado, datada de c. 1430, é de um mosaico do pavimento da catedral de São Marcos em Veneza, atribuído a Paolo Uccello.

grande dodecaedro estrelado - poliedro regular côncavo, composto de doze faces pentagramáticas. dual do grande icosaedro.
grande dodecaedro estrelado
o grande dodecaedro estrelado foi publicado em 1568 por Wenzel Jamnitzer na maravilhosa obra Perspectiva Corporum Regularium.
grande dodecaedro - poliedro regular côncavo, composto de doze faces pentagonais [regulares]. dual do pequeno dodecaedro estrelado.
grande dodecaedro        
grande icosaedro - poliedro regular côncavo, composto de vinte faces triangulares [equiláteras]. dual do grande dodecaedro estrelado.
grande icosaedro              

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