página principal
faça aqui o download da última versão do java para visualizar correctamente as construções desta página
página optimizada para google chrome

CONSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO SOBRE CÓNICAS

Cada uma das construções seguintes exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:

Construção da circunferência por três pontos não colineares

Construção das tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

Construção das tangentes comuns exteriores a duas circunferências de igual raio

Construção das tangentes comuns exteriores a duas circunferências de raios diferentes

Construção das tangentes comuns interiores a duas circunferências de raios diferentes

Construção da elipse segundo o métodos dos focos

Construção da elipse segundo o método das circunferências

Construção da tangente e da normal à elipse num dos seus pontos

Determinação dos focos de uma elipse dada

Construção das tangentes à elipse por um ponto que lhe é exterior

Construção da tangente à elipse, dada a direcção

Construção da parábola (em construção)

Construção da hipérbole e traçado das assímptotas da hipérbole (em construção)

CONSTRUÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA POR TRÊS PONTOS NÃO COLIENARES

Três pontos não colineares, no plano, pertencem a uma única circunferência, cujo centro é determinável através das mediatrizes de duas das suas cordas. Como tal, basta definir dois segmentos de recta a partir dos pontos dados e determinar a intersecção entre as suas mediatrizes. Se unirmos os três pontos entre si, definiremos um truiângulo, sendo o ponto determinado o seu circuncentro.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA POR UM PONTO EXTERIOR

Determinamos o ponto médio do segmento de recta que une o centro da circunferência ao ponto exterior (aqui determinado com o auxílio da mediatriz do segmento) e determinamos os pontos T e T', na intersecção da circunferência com o arco de centro em M e abertura até ao centro da circunferência. Note-se que a tangente a uma circunferência é sempre perpendicular ao raio respectivo.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DAS TANGENTES COMUNS EXTERIORES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DE IGUAL RAIO

Basta desenharmos o segmento de recta que une o centro das circunferências e, por cada um dos seus extremos, desenhar perpendiculares que, ao intersectarem a circunferência, definem os pontos de tangencia necessários.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DAS TANGENTES COMUNS EXTERIORES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS (in "Desenho 9º ano de escolaridade" de Stella Sant'Ana e Berta Gomes)

- Determinamos M, ponto médio do segmento de recta que une o centro das duas circunferências (aqui determinado com a mediatriz do segmento).
- desenhamos um raio de uma das circunferências, nela definindo o ponto A
- com centro nesta circunferência, desenhamos uma circunferência de raio igual à outra que, ao intersectar o raio, define o ponto B' (desenhada a traço interrompido, na construção)
- concêntrica à primeira circunferência, desenhamos uma outra (a vermelho, na construção) de raio igual à medida entre A e B'
- com centro em M, desenhamos a circunferência que contém os centros das circunferências dadas
- a intersecção entre esta e a circunferência a vermelho define os pontos R e R'
- as semi-rectas de origem em O que passam por R e R' definem respectivamente, na circunferência dada, os pontos T e T'
- pelo centro da outra circunferência, desenhamos paralelas às semi-rectas, definindo, na outra circunferência dada, os pontos S e S'
- unindo T e S e T' com S' teremos as tangentes exteriores às duas circunferências.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DAS TANGENTES COMUNS INTERIORES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS (in "Desenho 9º ano de escolaridade" de Stella Sant'Ana e Berta Gomes)

- Determinamos M, ponto médio do segmento de recta que une o centro das duas circunferências (aqui determinado com a mediatriz do segmento).
- desenhamos um raio de uma das circunferências, nela definindo o ponto A
- desenhamos a semirecta de origem em O que passsa por A
- com centro em A, desenhamos uma circunferência de raio igual à outra (a traço interrompido, na construção) que, ao intersectar a semirecta, define o ponto B'
- desenhamos uma circunferência de raio igual à soma do raio das circunferências dadas - com centro em O e abertura até B' (a vermelho, na construção)
- com centro em M, desenhamos a circunferência que contém os centros das circunferências dadas
- a intersecção entre esta e a circunferência a vermelho define os pontos R e R'
- pelo centro da outra circunferência, desenhamos paralelas às semi-rectas, definindo, na outra circunferência dada, os pontos S e S'
- unindo T e S e T' com S' teremos as tangentes interiores às duas circunferências.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DA ELIPSE SEGUNDO O MÉTODO DOS FOCOS

A elipse é a curva fechada resultante da secção da superfície cónica por um plano oblíquo às geratrizes que não contenha o vértice.
É ainda o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a outros dois (os focos) é constante.

Relatório da construção:
- com abertura de compasso igual a metade do eixo maior e centro em C, determinar os focos F1 e F2 na intersecção com o eixo maior (CA + CB = AB)
- definem-se os pontos 1, 2, 3, 4, ... no eixo maior
- com abertura de compasso igual a 1B e centro em F1, desenhar um arco acima e outro abaixo do eixo
- com abertura de compasso igual a 1B e centro em F2, desenhar um arco acima e outro abaixo do eixo
- com abertura de compasso igual a 1A e centro em F1, desenhar um arco acima e outro abaixo do eixo
- com abertura de compasso igual a 1A e centro em F1, desenhar um arco acima e outro abaixo do eixo
- a intersecção entre estes arcos define quatro pontos da elipse.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DA ELIPSE SEGUNDO O MÉTODO DAS CIRCUNFERÊNCIAS

A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a outros dois (os focos) é constante.

Relatório da construção:
- Desenhamos duas circunferências concêntricas de diâmetros diferentes e, numa das circunferências, um diâmetro [CD], perpendicular ao diâmetro [AB] da outra circunferência:
- Num raio comum às duas circunferências, definimos os pontos X e Y, respectivamente, das circunferências menor e maior
- Por X, desenhamos uma paralela ao diâmetro da circunferência maior;
- Por Y, desenhamos uma paralela ao diâmetro da circunferência menor;
- a intersecção entre as duas linhas corresponde a um dos pontos da elipse, a que atribuímos a notação Z;
- repetindo o processo, definiremos os pontos necessários à construção da elipse.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Se movimentar o ponto azul (circular), confirmará que o locus (lugar geométrico) do ponto Z é a elipse desenhada.

 

CONSTRUÇÃO DA TANGENTE E DA NORMAL À ELIPSE NUM DOS SEUS PONTOS (in "Desenho 9º ano de escolaridade" de Stella Sant'Ana e Berta Gomes)

Dada a elipse pelos seus focos F1 e F2 e pelo ponto A, a tangente à elipse em B é a bissectriz do ângulo entre um dos raios vectores e o prolongamento do outro. A normal à elipse em B é perpendicular á tangente e a bissectriz entre os mesmos raios vectores:

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

DETERMINAÇÃO DOS FOCOS DE UMA ELIPSE DADA (in "Desenho Técnico" - Luís Veiga da Cunha)

Para determinar os focos de uma elipse dados o centro O e o ponto P:
- desenhamos a circunferência de raio OP, que intersecta a elipse nos pontos P, Q, R e S, a partir dos quais definimos os diâmetros conjugados PQ e RS
- as mediatrizes de dois lados perpendiculares do rectàngulo (ou as bissectrizes dos ângulos entre os diâmetros) definem, ao intersectar a elipse, os seus eixos maior e menor, respectivamente, AB e CD
- com centro em C e abertura AB, desenhamos um arco (a traço interrompido vermelho, na construção) que ao intersectar o eixo maior, define os focos F1 e F2 da elipse.

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DAS TANGENTES À ELIPSE POR UM PONTO QUE LHE É EXTERIOR (in "Desenho Técnico" - Luís Veiga da Cunha)

Para determinar os focos de uma elipse dados o centro O e o ponto P:
- desenhamos a circunferência de raio OP, que intersecta a elipse nos pontos P, Q, R e S, a partir dos quais definimos os diâmetros conjugados PQ e RS
- as mediatrizes de dois lados perpendiculares do rectàngulo (ou as bissectrizes dos ângulos entre os diâmetros) definem, ao intersectar a elipse, os seus eixos maior e menor, respectivamente, AB e CD
- com centro em C e abertura AB, desenhamos um arco (a traço interrompido vermelho, na construção) que ao intersectar o eixo maior, define os focos F1 e F2 da elipse.

Para definir as tangentes exteriores à elipse de um ponto G:
- desenhamos uma circunferência de centro em G e raio GF2
- desenhamos uma circunferência de centro em F1 e raio AB
- a ingtersecção entre as duas circunferências definem os pontos U e V
- a mediatriz de UF2 é uma das tangentes à elipse a partir de G
- a mediatriz de VF2 é a outra tangentes à elipse a partir de G

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DA TANGENTE À ELIPSE, DADA A DIRECÇÃO (in "Desenho Técnico" - Luís Veiga da Cunha)

Para definir as tangentes à elipse (definida pelos focos F1 e F2 e pelo ponto E), dada a direcção da recta RS:
- definimos a recta F1F2, que contém o eixo maior da elipse e determinamos os seus extremos A e B
- desenhamos a perpendicular à direcção dada, passando por um dos focos da elipse
- com abertura igual à do eixo maior e centro no outro foco da elipse, desenhamos uma circunferência que, ao intersectar com a perpendicular anterior, define os pontos X e Y
- a mediatriz do segmento entre X e este foco é uma das tangentes procuradas
- a mediatriz do segmento entre Y e o mesmo foco é a outra tangente procuradas

A construção seguinte exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) são movimentáveis.

 

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA (em construção)

 

CONSTRUÇÃO DA HIPÉRBOLE E TRAÇADO DAS ASSÍMPTOTAS (em construção)

 

mapa do site topo da página mapa do site topo da página topo da página topo da página topo da página mapa do site topo da página topo da página topo da página