A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar:
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE AO PLANO OBLÍQUO

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

PLANO VERTICAL, FRONTAL E DE PERFIL

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES HORIZONTAIS

ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

PIRÂMIDE DE BASE HORIZONTAL

PLANO HORIZONTAL

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

TRAÇOS DO PLANO NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

RECTA PARALELA AO B13

RECTA VERTICAL, OBLÍQUA E PASSANTE

RECTA OBLÍQUA, FRONTAL, DE PERFIL E PASSANTE DE PERFIL

RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, FRONTAL E VERTICAL

RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, HORIZONTAL E DE TOPO

RECTAS CONCORRENTES

TRAÇO DA RECTA NO B13

REPRESENTAÇÃO DA RECTA

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NOS QUATRO DIEDROS

AFASTAMENTO NEGATIVO

PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE AO PLANO OBLÍQUO

Na construção seguinte, a recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano oblíquo alfa, obedecendo às duas condições para que uma recta horizontal pertença a um plano oblíquo, a saber:
- o seu traço frontal pertence ao traço frontal do plano (F2h pertence a f alfa)
- é paralela ao traço horizontal do plano (h1 é paralelo a h alfa).
A cota da recta varia entre:
- positiva (quando a recta se situa acima do P.H.P. e h2 está acima do eixo x);
- nula (quando a recta h pertence ao P.H.P. e h2 coincide com o eixo x, coincidindo com o traço horizontal do plano - o que nos permite acrescentar que o traço horizontal do plano oblíquo é uma recta horizontal de cota nula);
- negativa (quando a recta se situa abaixo do P.H.P. e h2 está abaixo do eixo x).

Convém ainda referir que a recta horizontal do plano oblíquo é uma das rectas notáveis deste plano, porque todos os seus pontos têm a mesma cota, ou seja, é o lugar geométrico dos pontos do plano com uma determinada cota, facto que será particularmente útil para a determinação de pontos pertencentes ao plano oblíquo dados pelas suas coordenadas.

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

(a editar)

PLANO VERTICAL, FRONTAL E DE PERFIL

(a editar)

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES HORIZONTAIS

A construção seguinte corresponde á a representação, em épura, de um cilindro oblíquo de bases circulares e horizontais, com uma das bases pertencente ao Plano Horizontal de Projecção.
O eixo do cilindro (linha que une os centros das duas bases do cilindro, O e M) está aqui representado pelas suas projecções (identificadas com as notações e1 e e2) e, de acordo com a animação, vai-se movimentando, sempre obliquamente ao Plano Horizontal de Projecção, variando entre oblíquo, frontal ou de perfil:

As linhas perpendiculares à projecção horizontal do eixo (e1) correspondem a traçados auxiliares que possibilitaram a determinação das geratrizes de contorno aparente horizontal do cilindro.
O contorno aparente frontal do cilindro foi determinado através das projecções frontais dos extremos dos diâmetros fronto-horizontais das bases do cilindro.

ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

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FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

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PIRÂMIDE DE BASE HORIZONTAL

(a editar)

PLANO HORIZONTAL

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RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Na construção seguinte, a recta r pertence ao plano oblíquo beta, definido pelos seus traços nos Planos de Projecção. Mantendo-se sempre oblíquo, o plano beta varia entre plano apoiado (quando f beta e h beta têm, ambos, abertura para a direita em relação ao eixo x) e em tensão (quando f beta tem abertura para a direita e h beta abertura para a esquerda, em relação ao eixo x). Por sua vez, a recta r, sendo também sempre oblíqua aos dois Planos de Projecção, varia entre oblíqua e de perfil (quando os seus traços têm a mesma abcissa).

Uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos desse plano. Se o plano for definido pelos seus traços, esses dois pontos poderão ser os próprios traços da recta nos Planos de Projecção isto é, os traços horizontal e frontal da recta (que têm, respectivamente, cota nula e afastamento nulo) e que deverão, necessariamente, pertencer aos traços horizontal e frontal do plano.

Podemos então concluir que para que uma recta pertença a um plano definido pelos seus traços, os traços horizontal e frontal da recta deverão pertencer aos traços de mesmo nome do plano.
Na representação em épura, podemos verificar que:
- a projecção frontal do traço frontal da recta (F2) pertence ao traço frontal do plano (f beta)
- a projecção horizontal do traço horizontal da recta (H1) pertence ao traço horizontal do plano (h beta).

TRAÇOS DO PLANO NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

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RECTA PERTENCENTE A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas b e c, oblíquas aos Planos de Projecção e paralelas entre si, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta p é uma recta pertencente ao plano, intersectando as rectas b e c nos pontos R e P, respectivamente.
Ao longo da sua trajectória, a recta p vai ocupando diferentes posições em relação aos Planos de Projecção, variando entre oblíqua, horizontal, oblíqua, frontal, oblíqua, de perfil e novamente oblíqua. Todas estas rectas poderão pertencer ao plano oblíquo, mediante determinadas condições, como veremos posteriormente.
Sabemos que a recta p pertence ao plano alfa porque contém dois pontos do plano - os pontos R e P - que, por sua vez, pertencem a rectas do plano: R pertence à recta b, enquanto que P pertence à recta c.
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta p foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura).

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se soubermos que pelo menos dois dos pontos da recta pertencem ao plano, então, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano quando pertence a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes).

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas b e c, oblíquas aos Planos de Projecção e paralelas entre si, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano, que intersecta as rectas a e b nos pontos S e R, respectivamente.
Observando o desenho, podemos constatar que a recta h pertence ao plano porque contém dois pontos do plano (os pontos R e S), que, por sua vez, pertencem a rectas do plano (R e S pertencem, respectivamente, às rectas b e a).
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta h foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura). Não foram atribuídas notações ou expressividade aos traços do plano alfa nos Planos de Projecção, porque este aspecto ainda não foi desenvolvido durante a aula.

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se pelo menos dois dos pontos da recta pertencerem ao plano, obviamente, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes, como veremos mais adiante).

Podemos, a partir destes conceitos e sem determinar ainda os traços do plano, resolver os seguintes exercícios:

1.Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (5; 4,5)
- A recta p é oblíqua e paralela ao beta 24
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- A recta q é passante, fazendo a sua projecção horizontal, com o eixo x, um ângulo de 40º com abertura para a direita
1.1. Considerando que as rectas p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h com 3cm de cota pertencente a esse plano.

2. Considera um plano definido por duas rectas concorrentes a e b, sabendo que:
- O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto P (2; 3,5)
- A recta a é oblíqua
- As projecções horizontal e frontal da recta a fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º e 45º, ambos com abertura para a esquerda
- A recta b é oblíqua e paralela ao beta 13
- A projecção horizontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 60º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções de uma recta h horizontal, com 5cm de cota, pertencente ao plano.

RECTA PARALELA AO B13

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RECTA VERTICAL, OBLÍQUA E PASSANTE

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RECTA OBLÍQUA, FRONTAL, DE PERFIL E PASSANTE DE PERFIL

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RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, FRONTAL E VERTICAL

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RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, HORIZONTAL E DE TOPO

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RECTAS CONCORRENTES

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TRAÇO DA RECTA NO B13

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REPRESENTAÇÃO DA RECTA

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REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NOS QUATRO DIEDROS

O desenho seguinte demonstra como são obtidas as projecções dos pontos O, P, Q e R (situados, respectivamente, no I, II, III e IV diedros) e qual o seu posicionamento em relação ao eixo x.

AFASTAMENTO NEGATIVO

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PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

A realidade tridimensional do Sistema Diédrico (também chamado de Sistema da Dupla Projecção Ortogonal, Representação Diédrica ou Método de Monge), definida pelo Plano Horizontal de Projecção e pelo Plano Frontal de Projecção (que, sendo perpendiculares, formam entre si um diedro de 90º), para poder ser representada no plano bidimensional em que trabalhamos, deverá ser planificada.

O desenho seguinte permite visualizar este processo, pelo rebatimento do Plano Horizontal de Projecção (a azul) que, ao longo da animação, fica coincidente com o Plano Frontal de Projecção (a ocre). A charneira ou eixo deste rebatimento é o eixo x, de intersecção entre os dois planos.

O ponto P, existente no espaço do I Diedro, é projectado, sobre cada um dos Planos de Projecção, segundo uma recta projectante horizontal (a recta v, perpendicular ao P.H.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto) e uma recta projectante frontal (a recta t, perpendicular ao P.F.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto), definindo, respectivamente: P1 - a projecção horizontal do ponto P - e P2 - a projecção frontal do ponto P.

Note-se que, ao longo da animação pré-definida, o Plano Horizontal de Projecção, a projecção horizontal de [PP2] e a própria projecção horizontal do ponto P se movimentam, de modo a que, no plano bidimensional, as projecções P1 e P2 passam a pertencer a uma mesma perpendicular ao eixo x, projectando-se a distância do ponto P ao Plano Horizontal de Projecção e a distância do ponto P ao Plano Frontal de Projecção, em verdadeira grandeza, respectivamente, nas distâncias entre Po e P2 e entre Po e P1.

Ao lado da perspectiva dos Planos de Projecção, temos a representação dos mesmos elementos em épura:

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

(a editar)