NECESSITA DA ÚLTIMA VERSÃO DO JAVA PARA A CORRRECTA VISUALIZAÇÃO DAS CONSTRUÇÕES DINÂMICAS DESTA PÁGINA

 

 

SOFTWARE UTILIZADO PARA AS PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO DINÂMICAS APRESENTADAS NESTA PÁGINA:

java     Compass and Ruler   C.a.R.Metal
 
CONSTRUÇÕES DINÂMICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE CONTEÚDOS RELATIVOS AO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar:
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

    RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE AO PLANO OBLÍQUO

    PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

    PLANO VERTICAL, FRONTAL E DE PERFIL

    CILINDRO OBLÍQUO DE BASES HORIZONTAIS

    ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

    FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

    PIRÂMIDE DE BASE HORIZONTAL

    PLANO HORIZONTAL

    RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

    TRAÇOS DO PLANO NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

    RECTA PERTENCENTE A UM PLANO

    RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

    RECTA PARALELA AO B13

    RECTA VERTICAL, OBLÍQUA E PASSANTE

    RECTA OBLÍQUA, FRONTAL, DE PERFIL E PASSANTE DE PERFIL

    RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, FRONTAL E VERTICAL

    RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, HORIZONTAL E DE TOPO

    RECTAS CONCORRENTES

    TRAÇO DA RECTA NO B13

    REPRESENTAÇÃO DA RECTA

    REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NOS QUATRO DIEDROS

    AFASTAMENTO NEGATIVO

    PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

    RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

 

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE AO PLANO OBLÍQUO

Na construção seguinte, a recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano oblíquo alfa, obedecendo às duas condições para que uma recta horizontal pertença a um plano oblíquo, a saber:
- o seu traço frontal pertence ao traço frontal do plano (F2h pertence a f alfa)
- é paralela ao traço horizontal do plano (h1 é paralelo a h alfa).
A cota da recta varia entre:
- positiva (quando a recta se situa acima do P.H.P. e h2 está acima do eixo x);
- nula (quando a recta h pertence ao P.H.P. e h2 coincide com o eixo x, coincidindo com o traço horizontal do plano - o que nos permite acrescentar que o traço horizontal do plano oblíquo é uma recta horizontal de cota nula);
- negativa (quando a recta se situa abaixo do P.H.P. e h2 está abaixo do eixo x).

 

Convém ainda referir que a recta horizontal do plano oblíquo é uma das rectas notáveis deste plano, porque todos os seus pontos têm a mesma cota, ou seja, é o lugar geométrico dos pontos do plano com uma determinada cota, facto que será particularmente útil para a determinação de pontos pertencentes ao plano oblíquo dados pelas suas coordenadas.

 

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

(a editar)

 

PLANO VERTICAL, FRONTAL E DE PERFIL

(a editar)

 

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES HORIZONTAIS

A construção seguinte corresponde á a representação, em épura, de um cilindro oblíquo de bases circulares e horizontais, com uma das bases pertencente ao Plano Horizontal de Projecção.
O eixo do cilindro (linha que une os centros das duas bases do cilindro, O e M) está aqui representado pelas suas projecções (identificadas com as notações e1 e e2) e, de acordo com a animação, vai-se movimentando, sempre obliquamente ao Plano Horizontal de Projecção, variando entre oblíquo, frontal ou de perfil:

 

As linhas perpendiculares à projecção horizontal do eixo (e1) correspondem a traçados auxiliares que possibilitaram a determinação das geratrizes de contorno aparente horizontal do cilindro.
O contorno aparente frontal do cilindro foi determinado através das projecções frontais dos extremos dos diâmetros fronto-horizontais das bases do cilindro.

 

ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

(a editar)

 

FIGURAS PLANAS PARALELAS AOS PLANOS DE PROJECÇÃO

(a editar)

 

PIRÂMIDE DE BASE HORIZONTAL

(a editar)

 

PLANO HORIZONTAL

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RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Na construção seguinte, a recta r pertence ao plano oblíquo beta, definido pelos seus traços nos Planos de Projecção. Mantendo-se sempre oblíquo, o plano beta varia entre plano apoiado (quando f beta e h beta têm, ambos, abertura para a direita em relação ao eixo x) e em tensão (quando f beta tem abertura para a direita e h beta abertura para a esquerda, em relação ao eixo x). Por sua vez, a recta r, sendo também sempre oblíqua aos dois Planos de Projecção, varia entre oblíqua e de perfil (quando os seus traços têm a mesma abcissa).

Uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos desse plano. Se o plano for definido pelos seus traços, esses dois pontos poderão ser os próprios traços da recta nos Planos de Projecção isto é, os traços horizontal e frontal da recta (que têm, respectivamente, cota nula e afastamento nulo) e que deverão, necessariamente, pertencer aos traços horizontal e frontal do plano.

 

Podemos então concluir que para que uma recta pertença a um plano definido pelos seus traços, os traços horizontal e frontal da recta deverão pertencer aos traços de mesmo nome do plano.
Na representação em épura, podemos verificar que:
- a projecção frontal do traço frontal da recta (F2) pertence ao traço frontal do plano (f beta)
- a projecção horizontal do traço horizontal da recta (H1) pertence ao traço horizontal do plano (h beta).

 

TRAÇOS DO PLANO NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

(a editar)

 

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas b e c, oblíquas aos Planos de Projecção e paralelas entre si, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta p é uma recta pertencente ao plano, intersectando as rectas b e c nos pontos R e P, respectivamente.
Ao longo da sua trajectória, a recta p vai ocupando diferentes posições em relação aos Planos de Projecção, variando entre oblíqua, horizontal, oblíqua, frontal, oblíqua, de perfil e novamente oblíqua. Todas estas rectas poderão pertencer ao plano oblíquo, mediante determinadas condições, como veremos posteriormente.
Sabemos que a recta p pertence ao plano alfa porque contém dois pontos do plano - os pontos R e P - que, por sua vez, pertencem a rectas do plano: R pertence à recta b, enquanto que P pertence à recta c.
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta p foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura).

 

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se soubermos que pelo menos dois dos pontos da recta pertencem ao plano, então, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano quando pertence a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes).

 

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas b e c, oblíquas aos Planos de Projecção e paralelas entre si, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano, que intersecta as rectas a e b nos pontos S e R, respectivamente.
Observando o desenho, podemos constatar que a recta h pertence ao plano porque contém dois pontos do plano (os pontos R e S), que, por sua vez, pertencem a rectas do plano (R e S pertencem, respectivamente, às rectas b e a).
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta h foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura). Não foram atribuídas notações ou expressividade aos traços do plano alfa nos Planos de Projecção, porque este aspecto ainda não foi desenvolvido durante a aula.

 

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se pelo menos dois dos pontos da recta pertencerem ao plano, obviamente, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes, como veremos mais adiante).

Podemos, a partir destes conceitos e sem determinar ainda os traços do plano, resolver os seguintes exercícios:

1.Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (5; 4,5)
- A recta p é oblíqua e paralela ao beta 24
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- A recta q é passante, fazendo a sua projecção horizontal, com o eixo x, um ângulo de 40º com abertura para a direita
1.1. Considerando que as rectas p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h com 3cm de cota pertencente a esse plano.

2. Considera um plano definido por duas rectas concorrentes a e b, sabendo que:
- O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto P (2; 3,5)
- A recta a é oblíqua
- As projecções horizontal e frontal da recta a fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º e 45º, ambos com abertura para a esquerda
- A recta b é oblíqua e paralela ao beta 13
- A projecção horizontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 60º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções de uma recta h horizontal, com 5cm de cota, pertencente ao plano.

 

RECTA PARALELA AO B13

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RECTA VERTICAL, OBLÍQUA E PASSANTE

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RECTA OBLÍQUA, FRONTAL, DE PERFIL E PASSANTE DE PERFIL

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RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, FRONTAL E VERTICAL

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RECTA E SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, HORIZONTAL E DE TOPO

(a editar)

 

RECTAS CONCORRENTES

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TRAÇO DA RECTA NO B13

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REPRESENTAÇÃO DA RECTA

(a editar)

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NOS QUATRO DIEDROS

O desenho seguinte demonstra como são obtidas as projecções dos pontos O, P, Q e R (situados, respectivamente, no I, II, III e IV diedros) e qual o seu posicionamento em relação ao eixo x.


 

AFASTAMENTO NEGATIVO

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PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

A realidade tridimensional do Sistema Diédrico (também chamado de Sistema da Dupla Projecção Ortogonal, Representação Diédrica ou Método de Monge), definida pelo Plano Horizontal de Projecção e pelo Plano Frontal de Projecção (que, sendo perpendiculares, formam entre si um diedro de 90º), para poder ser representada no plano bidimensional em que trabalhamos, deverá ser planificada.

O desenho seguinte permite visualizar este processo, pelo rebatimento do Plano Horizontal de Projecção (a azul) que, ao longo da animação, fica coincidente com o Plano Frontal de Projecção (a ocre). A charneira ou eixo deste rebatimento é o eixo x, de intersecção entre os dois planos.

O ponto P, existente no espaço do I Diedro, é projectado, sobre cada um dos Planos de Projecção, segundo uma recta projectante horizontal (a recta v, perpendicular ao P.H.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto) e uma recta projectante frontal (a recta t, perpendicular ao P.F.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto), definindo, respectivamente: P1 - a projecção horizontal do ponto P - e P2 - a projecção frontal do ponto P.

Note-se que, ao longo da animação pré-definida, o Plano Horizontal de Projecção, a projecção horizontal de [PP2] e a própria projecção horizontal do ponto P se movimentam, de modo a que, no plano bidimensional, as projecções P1 e P2 passam a pertencer a uma mesma perpendicular ao eixo x, projectando-se a distância do ponto P ao Plano Horizontal de Projecção e a distância do ponto P ao Plano Frontal de Projecção, em verdadeira grandeza, respectivamente, nas distâncias entre Po e P2 e entre Po e P1.

Ao lado da perspectiva dos Planos de Projecção, temos a representação dos mesmos elementos em épura:

 

 

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

(a editar)

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