Excepto quando especificado, a representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar:
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

ÂNGULO DE DUAS RECTAS CONCORRENTES

ÂNGULO ENTRE A DIRECÇÃO DE DUAS RECTAS ENVIESADAS

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

ÂNGULO DE DUAS RECTAS CONCORRENTES

Na resolução deste tipo de problemas, e porque sabemos que duas rectas concorrentes definem um plano, basta aplicarmos, dentre outras possibilidades, um dos seguintes processos de resolução:

- Dadas as projecções das duas rectas a e b concorrentes, determinamos os seus traços nos planos de projecção;

- Unindo os traços homónimos das rectas , definimos os traços do plano que as contém;

- Rebatendo este plano sobre um dos Planos de Projecção, definimos as rectas a e b em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas a e b rebatidas.

Outra hipótese de resolução seria rebater as duas rectas sobre um plano horizontal ou frontal que as intersectará segundo, respectivamente, uma recta horizontal ou frontal (se o plano que as contém for oblíquo):

- Dadas as projecções das duas rectas a e b, desenhamos um plano horizontal ou frontal qualquer (se uma das rectas a ou b for horizontal ou frontal, este plano deverá contê-la);

- Determinam-se os pontos de intersecção entre o plano desenhado e as rectas a e b;

- Unindo os dois pontos determinados, definimos a recta horizontal ou frontal que será a charneira do rebatimento a efectuar;

- Rebatemos o plano que contém as duas rectas sobre este plano, definindo as rectas a e b em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas a e b rebatidas.

Brevemente, publicarei aqui uma construção dinâmica sobre este assunto.

ÂNGULO ENTRE A DIRECÇÃO DE DUAS RECTAS ENVIESADAS

A resolução deste tipo de exercícios será em tudo semelhante à anterior, depois de definirmos uma recta g, paralela a uma das rectas, de modo a ser concorrente com outra recta, como a seguir se explica:

- Dadas as projecções das duas rectas a e b, não concorrentes, desenhamos uma recta g, paralela à recta a (por exemplo), passando por um ponto da recta b;

- As rectas b e g definem agora um plano, pelo que poderemos determinar os seus traços nos planos de projecção;

- Unindo os traços homónimos das rectas , definimos os traços do plano que as contém;

- Rebatendo este plano sobre um dos Planos de Projecção, definimos as rectas b e g em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas b e g rebatidas.

Outra hipótese de resolução seria rebater as rectas b e g sobre um plano horizontal ou frontal que as intersectará segundo, respectivamente, uma recta horizontal ou frontal (se o plano que as contém for oblíquo):

- Determinadas as projecções das rectas concorrentes b e g, desenhamos um plano horizontal ou frontal qualquer (se uma das rectas b ou g for horizontal ou frontal, este plano deverá contê-la);

- Determinam-se os pontos de intersecção entre o plano desenhado e as rectas b e g;

- Unindo os dois pontos determinados, definimos a recta horizontal ou frontal que será a charneira do rebatimento a efectuar;

- Rebatemos o plano que contém as duas rectas sobre este plano, definindo as rectas b e g em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas b e g rebatidas.

Brevemente, publicarei aqui uma construção dinâmica sobre este assunto.

ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

As construções seguintes pretendem demonstrar o processo que poderemos aplicar na resolução de exercícios que solicitem a determinação da verdadeira grandeza entre uma recta e um plano.

Consideremos um plano delta e uma recta s que o intersecta no ponto I.
Para determinarmos o ângulo que esta recta faz com o plano (que, no desenho, varia de amplitude, consoante o ângulo de obliquidade entre a recta e o plano), devemos ter em atenção que:
- O ângulo formado entre a recta s e o plano delta corresponde ao ângulo que a recta s faz com a sua projecção ortogonal nesse plano (que chamaremos de s’).
A projecção ortogonal da recta s (s') foi obtida através de uma recta projectante p, perpendicular ao plano delta (desenhada a traço fino vermelho) e que passa por um ponto P, qualquer, da recta s. Quando a recta p intersecta o plano delta, define a projecção ortogonal do ponto P (que chamaremos de P').
Unindo P’ com I' (a projecção ortogonal do ponto I, que coincide com o próprio ponto, porque I pertence ao plano delta, aqui considerado como plano de projecção) obteremos s', isto é, a projecção ortogonal da recta s no plano delta.
O ponto de intersecção entre a recta s e o plano delta (I) é o vértice do ângulo que procuramos:

Num exercício, bastaria, portanto, determinar as projecções da recta s e do plano delta, do ponto I, do ponto P, da recta p, do ponto P' e, finalmente, da recta s'.
Se no final disto tudo, o ângulo entre s e s' não estivesse em verdadeira grandeza (o que seria o mais provável), teríamos ainda de determinar a verdadeira grandeza do ângulo entre s e s', recorrendo a um dos processos habituais (Rotações, Rebatimentos ou Mudança de Diedro).

Para que a resolução de um exercício deste tipo não se torne tão morosa e complexa (especialmente para os casos em que o plano delta é vertical, de topo, oblíquo, de rampa ou passante), acrescentaremos outros elementos ao desenho apresentado acima, que nos facilitarão a resolução deste tipo de problemas.
Assim, atente-se neste outro desenho, que inclui, além do que já foi referido, uma recta g, passando pelo ponto P e paralela à recta s'.
Podemos constatar, pela animação, que a amplitude do ângulo entre as rectas g e s (de vértice P) é a mesma que o ângulo entre as rectas s e s’.

Como sabemos que as rectas p e g são perpendiculares entre si, saberemos também que os dois ângulos de vértice P, entre as rectas p, g e s (nomeadamente, entre p e s - a vermelho - e entre g e s - a verde) são complementares, isto é, perfazem 90º.
Se conseguirmos, num exercício, determinar o ângulo entre as rectas p e s (a vermelho), bastará depois subtrairmos a sua amplitude a 90º para podermos obter o ângulo entre as rectas g e s (a preto) que procuramos:

Observação: As construções anteriores foram realizadas no Sistema de Representação Axonométrica (Isometria), pelo que a amplitude dos ângulos determinados não corresponde à sua verdadeira grandeza.

É habitual designar este processo de resolução de “Método do ângulo complementar”, pelos motivos já referidos. Este método consiste, portanto, em:

1. Determinar as projecções da recta s e do plano delta dados;

2. Definir um ponto P, qualquer, na recta s;

3. Pelo ponto P, desenhar as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano delta (esta recta deverá ter as suas projecções frontal e horizontal respectivamente perpendiculares aos traços frontal e horizontal do plano dado);

4. O ângulo que procuramos será o ângulo complementar ao ângulo entre as rectas p e s (que não estará em verdadeira grandeza, visto que as duas rectas só serão paralelas ao mesmo Plano de Projecção apenas em alguns casos);

5. Para obtermos a verdadeira grandeza deste ângulo, devemos utilizar um Método Geométrico Auxiliar. Se optarmos pelo Rebatimento, seguiremos uma das seguintes alternativas para rebater o plano que contém as duas rectas p e s:

- ou rebatêmo-lo sobre o P.H.P. (sendo necessário determinar o traço horizontal do plano, que será a charneira do rebatimento)
- ou sobre o P.F.P. (sendo necessário determinar o traço frontal do plano, que será a charneira do rebatimento)

- ou rebatêmo-lo sobre um plano horizontal (sendo necessário, para tal, determinar uma recta horizontal do plano, que será a charneira do rebatimento)
- ou sobre um plano frontal (sendo necessário, para tal, determinar uma recta frontal do plano que será a charneira do rebatimento).

Se o plano dado for um plano de rampa, a recta p será uma recta de perfil, pelo que o exercício só poderá ser resolvido através do rebatimento do plano de perfil que a contém.

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

na resolução deste tipo de problemas, poderemos aplicar o seguinte processo, aplicável a todos os casos:

1. Definimos os traços dos planos alfa e beta;

2. Determinamos as projecções de um ponto P, qualquer;

3. Determinamos as projecções de uma recta a, perpendicular ao plano alfa (com as projecções frontal e horizontal perpendiculares aos traços homónimos do plano)

4. Determinamos as projecções de uma recta b, perpendicular ao plano beta (com as projecções frontal e horizontal perpendiculares aos traços homónimos do plano)

5. Rebatemos o plano que contém as rectas a e b sobre um dos Planos de projecção ou sobre um plano horizontal ou frontal.

6. O ângulo pedido corresponderá à verdadeira grandeza do ângulo entre as rectas a e b.

A partir daqui, podemos resolver os seguintes exercícios de exame nacional:

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelo plano oblíquo alfa com o plano frontal de projecção.

- o plano alfa é definido pelo ponto P (0; -4; 2) e pela recta de nível (horizontal) n
- a recta de nível n contém o ponto A (3; 3; 4) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção.

Exame de 2002 Prova Modelo (DGD-A)

(a editar)