página principal
f
   
 
CONSTRUÇÕES DINÂMICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE CONTEÚDOS RELATIVOS AO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA - ÂNGULOS

ÃNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

ÂNGULO DE DUAS RECTAS CONCORRENTES

ÂNGULO ENTRE AS DIRECÇÕES DE DUAS RECTAS ENVIESADAS

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

ÂNGULO DE UMA RECTA COM UM PLANO

A construção interactiva seguinte pretende demonstrar o processo - designado por "método indirecto" - que poderemos aplicar na resolução de problemas de determinação da amplitude do ângulo entre uma recta e um plano.

Consideremos um plano (a cinzento, na imagem) e uma recta a que o intersecta no ponto P (vértice do ângulo que procuramos).
Para determinarmos o ângulo que esta recta define com o plano (que, na construção, pode variar de amplitude, se o ponto A for movimentado), devemos ter em atenção que o ângulo definido entre a recta a e o plano corresponde ao ângulo que a recta a define com a sua projecção ortogonal nesse plano (que identificamos como a'). A projecção ortogonal da recta a - a' - é definida pelo ponto P e pela projecção ortogonal do ponto A - A' -, por sua vez definido pela intersecção da recta p que contém o ponto A, com o plano a que p é perpendicular.
Note-se ainda que o ângulo que a recta a define com a' tem amplitude igual à do ângulo que a recta a define com a recta b (paralela à recta a e concorrente com a recta p). As rectas b e p definem um ângulo de 90º entre si, pelo que os ângulos que a recta a define com as rectas p e b são complementares.

Deste modo, podemos concluir que o ângulo que uma recta a define com um plano é complementar do ângulo que a mesma recta a define com uma outra recta p, perpendicular ao plano dado que com a recta a seja concorrente. Para a resolução deste tipo de problema, bastar-nos-á portanto determinbar a amplitude do ângulo que as duas rectas a e p definam entre si e depois a amplitude do ângulo que lhes é complementar.

 

Para a resolução de um problema deste género, bastará, portanto, determinar as projecções de um ponto da recta dada - A - e de uma recta - p - que contenha esse ponto e seja perpendicular ao plano dado, para determinar (através de um método geométrico auxiliar, quando necessário) a amplitude do ângulo entre a recta a e a recta p e a seguir a amplitude do ângulo que com ele define 90º:

1. Determinar as projecções da recta dada e os traços do plano dado (ou pelo menos, a direcção das suas rectas horizontais e frontais);

2. Definir as projecções de um ponto A, qualquer, da recta a;

3. Pelo ponto A, desenhar as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano dado (esta recta deverá ter as projecções frontal e horizontal respectivamente perpendiculares aos traços frontal e horizontal do plano dado);

4. O ângulo que procuramos será o ângulo complementar ao ângulo que as rectas a e p dfefinem entre si. Para determinarmos a amplitude deste ângulo, recorreremos (se a situação em causa o justificar) a um Método Geométrico Auxiliar.

 

ÂNGULO DE DUAS RECTAS CONCORRENTES

Na resolução deste tipo de problemas, e porque sabemos que duas rectas concorrentes definem um plano, basta utilizarmos, dentre outras possibilidades, um dos seguintes processos de resolução:

- Dadas as projecções das duas rectas a e b concorrentes, determinamos os seus traços nos planos de projecção;

- Unindo os traços homónimos das rectas, definimos os traços do plano que as contém;

- Rebatendo este plano sobre um dos planos de projecção (ou outro que seja paralelo a um deles), determinamos as rectas a e b em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas a e b rebatidas.

 

 

ÂNGULO ENTRE AS DIRECÇÕES DE DUAS RECTAS ENVIESADAS

A resolução deste tipo de exercícios será em tudo semelhante à anterior, depois de definirmos uma recta g, paralela a uma das rectas e concorrente com aoutra recta, como a seguir se explica:

- Dadas as projecções das duas rectas enviesadas a e b, desenhamos as projecções de uma recta g, paralela à recta a (por exemplo), de modo a conter um ponto da recta b;

- As rectas b e g definem agora um plano, pelo que poderemos determinar os seus traços nos planos de projecção;

- Unindo os traços homónimos das rectas , definimos os traços do plano que as contém;

- Rebatendo este plano sobre um dos planos de projecção (ou outro que seja paraelelo a um deles), definimos as rectas b e g em rebatimento;

- O ângulo pedido corresponderá ao ângulo entre as rectas b e g rebatidas.

 

ÂNGULO DE DOIS PLANOS

Para a resolução deste tipo de problemas, poderemos aplicar o seguinte processo de resolução:

1. Definimos os traços dos planos alfa e beta (ou as direcções das suas rectas horizontaos e frontais);

2. Determinamos as projecções de um ponto P, qualquer;

3. Determinamos as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano alfa (com as projecções frontal e horizontal perpendiculares aos traços homónimos do plano)

4. Determinamos as projecções de uma recta q, perpendicular ao plano beta (com as projecções frontal e horizontal perpendiculares aos traços homónimos do plano)

5. Rebatemos o plano que contém as rectas p e q sobre um dos planos de projecção ou sobre um plano horizontal ou frontal.

6. O ângulo pedido corresponderá à verdadeira grandeza do ângulo entre as rectas p e q.

 

 

View My Stats