A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º. Enquanto que o desenho da esquerda é uma perspectiva, de cada uma das situações descritas, na realidade tridimensional, o desenho da direita corresponde à representação da mesma situação, em épura.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar:
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

ALFABETO DA RECTA E SUA REPRESENTAÇÃO NO SISTEMA DIÉDRICO - RESUMO

(a editar)

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS PARALELAS AO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES (beta 13)

A construção seguinte inclui, além dos Planos de Projecção e do plano bissector dos diedros ímpares (preenchido a azul claro), uma recta b (a azul escuro) pertencente a este mesmo plano, um ponto A (do primeiro diedro) e uma recta r (a preto), paralela à recta b. Paralelamente, e em interdependência, inclui a representação em épura dos mesmos elementos.

Uma recta será paralela a um plano quando for paralela a uma recta desse plano - razão pela qual a recta r, sendo paralela à recta b, é também paralela ao plano bissector dos diedros ímpares.
Para não dificultar a compreensão do desenho, optei por identificar, na perspectiva dos Planos de Projecção, apenas os traços frontal e horizontal da recta r com as suas notações (H e F), mas não identifiquei as projecções destes pontos com as suas notações. Com o mesmo objectivo, também não determinei as projecções da recta b.

Analisando o desenho, concluiremos que a recta r poderá ocupar as seguintes posições:

- fronto-horizontal - quando a recta r se posiciona paralelamente aos Planos de Projecção, sendo as suas projecções paralelas ao eixo x (não é necessário referir que a recta é também paralela ao beta13, porque qualquer recta fronto-horizontal será sempre paralela aos planos bissectores);

- oblíqua e paralela ao beta 13 - neste caso, a recta r é oblíqua aos dois Planos de Projecção. Em épura, podemos constatar que as duas projecções da recta são oblíquas ao eixo x e fazem, ambas, ângulos iguais com o mesmo, com abertura para o mesmo lado (neste caso, para a direita). Para melhor perceber esta semelhança entre os ângulos, basta clicar em cima do desenho, na altura em que aparecem as suas amplitudes (de salientar que estes ângulos não correspondem à projecção, em verdadeira grandeza, dos ângulos que a recta oblíqua r faz com os Planos de Projecção).

- de perfil e paralela ao beta 13 - neste caso, continuando a ser oblíqua aos dois Planos de Projecão, a recta r fica também paralela ao Plano Referencial das Abcissas (plano zy ou plano pi 0, não representado neste desenho), tendo todos os seus pontos igual abcissa. Em épura, a representação exacta desta recta só será possível durante a Unidade relativa aos Métodos Geométricos Auxiliares. Por enquanto basta-nos compreender que, no espaço, a recta de perfil pode também ser paralela a um plano bissector, ficando as suas projecções coincidentes e perpendiculares ao eixo x.

Relativamente à recta b, pertencente ao plano beta 13 (que é um plano passante), as suas posições poderão ser as seguintes:
- fronto-horizontal - quando é paralela aos dois Planos de Projecção;
- passante - quando é oblíqua aos dois Planos de Projecção, intersectando-os no eixo x;
- passante de perfil - quando é oblíqua aos dois Planos de Projecção, intersectando-os no eixo x e paralela ao plano referencial das Abcissas.
A representação em épura da recta b não é aqui abordada, pelas razões já referidas. Não esquecer, no entanto, que, em qualquer um destes casos, a recta b deverá conter apenas pontos do beta 13.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA VERTICAL, OBLÍQUA E PASSANTE

A construção seguinte conclui o alfabeto da recta referido nesta página, incluindo, na representação em perspectiva e em épura, um ponto A do primeiro diedro, uma recta s em movimento passando por A e os seus traços nos Planos de Projecção.

As posições da recta s variam entre:
- vertical (quando a recta s é perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção e paralela ao Plano Frontal de Projecção);
- oblíqua (quando a recta s é oblíqua ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção, mas não intersecta o eixo x);
- oblíqua passante ou, simplesmente, passante (quando a recta s é oblíqua aos dois Planos de Projecção, intersectando-os no eixo x).

As projecções da recta s em cada uma das situações referidas poderão ser as seguintes:
- quando a recta s é vertical, s1 projecta-se apenas num único ponto, coincidente com a projecção horizontal do ponto A (A1); enquanto que s2 é perpendicular ao eixo x;
- quando a recta s é oblíqua, tanto s1 como s2 são oblíquas ao eixo x (mas não se intersectam no eixo x);
- quando a recta s é passante, as projecções s1 e s2 são oblíquas ao eixo x e intersectam-se no eixo x, ficando os seus traços frontal e horizontal coincidentes (e com a cota e afastamento nulos), porque a recta s intersecta o P.F.P. no exacto ponto em que a recta intersecta também o P.H.P..

O comprimento do segmento de recta [HsA] projectar-se-á em verdadeira grandeza apenas na situação em que a recta s é vertical (quando s2 é perpendicular ao eixo x, projectando-se a verdadeira grandeza entre H2s e A2). Quando a recta s é passante ou oblíqua, nunca se projectará em verdadeira grandeza em nenhum dos Planos de Projecção.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA OBLÍQUA, FRONTAL, DE PERFIL E PASSANTE DE PERFIL

(a editar)

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA E DO SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, FRONTAL E VERTICAL

(a editar)

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA E DO SEGMENTO DE RECTA FRONTO-HORIZONTAL, HORIZONTAL E DE TOPO

Nos desenhos seguintes a recta h e o segmento de recta nela contido (definido pelos pontos A e B) são sempre paralelos ao Plano Horizontal de Projecção.

Através da animação, podemos ver que a sua posição vai variando entre fronto-horizontal (paralela aos dois Planos de Projecção e ao eixo x) até ficar de topo (perpendicular ao Plano Frontal de Projecção), passando por várias situações de obliquidade em relação ao Plano Frontal de Projecção, sempre com abertura para a esquerda - nestas situações, tanto a recta como o segmento de recta são horizontais).

As projecções da recta h poderão ser as seguintes:
- quando a recta h é fronto-horizontal, tanto h2 como h1 são paralelas ao eixo x;
- quando a recta h é horizontal, h2 é paralela ao eixo x e h1 é oblíqua ao eixo x (e o ângulo que a recta faz com o P.F.P. projecta-se em verdadeira grandeza no P.H.P., no ângulo entre o eixo x e h1);
- quando a recta h é de topo, h1 é perpendicular ao eixo x e h2 é apenas um ponto, que deverá ser identificado com a notação (h2).

Relativamente aos pontos A e B pertencentes à recta h, que são os extremos de [AB], verifica-se o seguinte:
- quando a recta h e [AB] são fronto-horizontais, todos os seus pontos têm a mesma cota e o mesmo afastamento (mas a cota não é necessariamente igual ao afastamento);
- quando a recta h e [AB] são horizontais, todos os seus pontos têm a mesma cota, mas os afastamentos e as abcissas são diferentes entre si.
- quando a recta h e [AB] são de topo, todos os seus pontos têm a mesma cota e a mesma abcissa (mas a cota não é necessariamente igual à abcissa).

Em qualquer um destes casos, e por ser sempre paralelo ao Plano Horizontal de Projecção, o comprimento de [AB] (medida de A a B) projectar-se-á sempre em verdadeira grandeza no Plano Horizontal de Projecção, na medida entre A1 e B1.
Se for fronto-horizontal, [AB] terá também o seu comprimento projectado em verdadeira grandeza entre A2 e B2, por ser também paralelo ao Plano Frontal de Projecção.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS CONCORRENTES

A construção seguinte inclui, além dos Planos de Projecção, duas rectas r e s, concorrentes num ponto C do primeiro diedro. Paralelamente, e em interdependência, inclui ainda a representação em épura dos mesmos elementos.
Note-se que as rectas r e s desenhadas a preto à esquerda não aparecem no desenho da direita, visto que, em qualquer exercício, apenas se representam as projecções dos elementos geométricos considerados.

A certa altura, alguns traços das rectas desaparecem, dada a dimensão do segmento de recta representativo do eixo x (que é, na realidade, infinito, tal como os Planos de Projecção).
Na perspectiva dos Planos de Projecção, não atribuí notações às projecções dos traços frontal e horizontal das rectas para não confundir o desenho.
Note-se que as projecções frontais e horizontais das duas rectas se intersectam, respectivamente, na projecção frontal e na projecção horizontal do ponto de concorrência.

As duas rectas r e s definem um plano, cujos traços nos Planos de Projecção não foram determinados. Pode ver aqui uma construção semelhante, com os traços do plano determinados.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DO TRAÇO DE UMA RECTA NO PLANO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES

Neste desenho podemos ver um dos processos possíveis para a determinação das projecções do ponto de intersecção de uma recta (oblíqua) s com o plano bissector dos diedros ímpares (o plano beta 13, que, contendo o eixo x, subdivide cada um dos diedros ímpares em dois diedros de 45º). Este ponto tem a notação Q e caracteriza-se por ter a cota igual ao afastamento. Estas duas coordenadas poderão ser ambas positivas (no primeiro diedro) ou ambas negativas (no terceiro diedro).
O segmento de recta que une as projecções frontal e horizontal dos traços frontal e horizontal da recta (nomeadamente, F2 com H1), ao intersectar o eixo x, define um ponto com a notação Qo, a partir do qual se determinam, com uma perpendicular ao eixo x, as projecções Q1 e Q2, pertencentes às projecções de mesmo nome da recta.
O segmento de recta (passante de perfil) definido por Q e Qo pertence ao plano beta13, o que determina que as distâncias do ponto Q a cada um dos Planos de Projecção serão iguais, ou seja, o ponto Q terá sempre a cota igual ao afastamento (conforme comprovado pelo arco de circunferência desenhado a verde):

No desenho seguinte, a recta s movimenta-se (variando a sua posição entre frontal, oblíqua e de perfil), intersectando o plano bissector no ponto Q, que pertence à recta i, também pertencente ao mesmo plano (o estudo desta recta i será desenvolvido mais adiante, aquando da Intersecção de uma recta com um plano).
A circunferência a traço interrompido demonstra que as projecções Q1 e Q2 são equidistantes do ponto Q.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA

Para melhor compreensão da representação da recta, apresento um desenho animado de uma recta s que contém um ponto A, do I Diedro.
O traço horizontal da recta s vai-se movimentando, ao longo de um arco de circunferência contido no Plano Horizontal de Projecção, fazendo com que a posição da recta s varie entre frontal (quando fica paralela ao PFP), oblíqua e de perfil (quando os seus traços Horizontal e Frontal têm a mesma abicssa).
Podemos verificar que ao longo da sua trajectória, as projecções da recta se vão modificando, bem como as coordenadas dos seus traços frontal e horizontal:

No desenho seguinte, podemos ver o modo como se obtêm as projecções da recta s, rebatendo o Plano Horizontal de Projecção sobre o Plano Frontal de Projecção:

Note-se que os ângulos que as projecções da recta (s1 e s2) fazem com o eixo x não correspondem, em verdadeira grandeza, aos ângulos que a recta s faz com cada um dos Planos de Projecção (tal só aconteceria se a recta fosse paralela a um dos Planos de Projecção, como se poderá ver em alguns dos conteúdos referidos nesta página).

As invisibilidades, nesta construção, têm por objectivo simplificar a sua visualização.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NOS QUATRO DIEDROS

O desenho seguinte demonstra como são obtidas as projecções dos pontos O, P, Q e R (situados, respectivamente, no I, II, III e IV diedros) e qual o seu posicionamento em relação ao eixo x.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NO SEGUNDO DIEDRO

No desenho seguinte, temos um ponto P, situado no espaço do II Diedro, cujas projecções horizontal e frontal se situam, respectivamente no Semiplano Horizontal Posterior e no Semiplano Frontal Superior.
Quando o Plano Horizontal de Projecção é rebatido sobre o Plano Frontal de Projecção, de modo a que ambos coincidam, podemos verificar que a projecção horizontal do ponto, P1, fica situada para cima do eixo x.

Quando passamos para o plano bidimensional da nossa folha de papel (na simulação à direita), as projecções do ponto P, do II Diedro, podemos concluir que as projecções de pontos situados no II Diedro se situarão sempre, e ambas, para cima do eixo x.

PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

A realidade tridimensional do Sistema Diédrico (também chamado de Sistema da Dupla Projecção Ortogonal, Representação Diédrica ou Método de Monge), definida pelo Plano Horizontal de Projecção e pelo Plano Frontal de Projecção (que, sendo perpendiculares, formam entre si um diedro de 90º), para poder ser representada no plano bidimensional em que trabalhamos, deverá ser planificada.

O desenho seguinte permite visualizar este processo, pelo rebatimento do Plano Horizontal de Projecção (a azul) que, ao longo da animação, fica coincidente com o Plano Frontal de Projecção (a ocre). A charneira ou eixo deste rebatimento é o eixo x, de intersecção entre os dois planos.

O ponto P, existente no espaço do I Diedro, é projectado, sobre cada um dos Planos de Projecção, segundo uma recta projectante horizontal (a recta v, perpendicular ao P.H.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto) e uma recta projectante frontal (a recta t, perpendicular ao P.F.P., desenhada a traço contínuo expressivo preto), definindo, respectivamente: P1 - a projecção horizontal do ponto P - e P2 - a projecção frontal do ponto P.

Note-se que, ao longo da animação pré-definida, o Plano Horizontal de Projecção, a projecção horizontal de [PP2] e a própria projecção horizontal do ponto P se movimentam, de modo a que, no plano bidimensional, as projecções P1 e P2 passam a pertencer a uma mesma perpendicular ao eixo x, projectando-se a distância do ponto P ao Plano Horizontal de Projecção e a distância do ponto P ao Plano Frontal de Projecção, em verdadeira grandeza, respectivamente, nas distâncias entre Po e P2 e entre Po e P1.

Ao lado da perspectiva dos Planos de Projecção, temos a representação dos mesmos elementos em épura:

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

A construção seguinte apresenta os seguintes elementos:
- uma recta a
- uma recta b
- um ponto C, de concorrência entre as duas rectas a e b
- uma recta a traço interrompido, paralela à recta a
- o desenho simplificado de um olho.

Imagine que ocupa a localização do olho (observador), tendo à sua frente as duas rectas a e b, concorrentes no ponto C.
A recta b está em movimento, fazendo com que o ponto de concorrência C se afaste gradualmente do olho (e, consequentemente, do observador). As duas rectas estão também, progressivamente, a "afastar-se" uma da outra, de tal modo que o ponto de concorrência vai ficando cada vez mais distante do observador, chegando inclusive, a desaparecer do plano do desenho.
Quando a recta b coincidir com a recta desenhada a traço interrompido, as duas rectas a e b serão paralelas e o ponto de concorrência estará infinitamente longe, passando a ser um ponto impróprio, isto é, um ponto situado no infinito.
Assim, podemos concluir que duas rectas paralelas se intersectam no infinito, sendo o seu ponto de concorrência um ponto impróprio.

A convergência entre rectas paralelas para um ponto impróprio pode ser exemplificada na realidade, da seguinte forma:
Imagine que está de frente para uma estrada recta muito comprida. As linhas que definem os seus limites (que sabe serem paralelas entre si), convergem para um ponto longínquo - o ponto de fuga. Se tentar alcançar esse ponto, correndo pela estrada, nunca o conseguirá alcançar, porque se situa no infinito - é um ponto impróprio...