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CONSTRUÇÕES DINÂMICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE CONTEÚDOS RELATIVOS AO SISTEMA DIÉDRICO - PONTOS E RECTAS (ver nota)

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NO SEGUNDO DIEDRO DE PROJECÇÃO

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS LOCALIZADOS NOS DIFERENTES DIEDROS DE PROJECÇÃO

PROJECÇÕES DE UM SEGMENTO DE RECTA

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UMA RECTA

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DO TRAÇO DE UMA RECTA NO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS CONCORRENTES

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS E DE SEGMENTOS DE RECTA PARALELOS AO PLANO HORIZONTAL DE PROJECÇÃO

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UMA RECTA VERTICAL, OBLÍQUA OU PASSANTE

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS PARALELAS AO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS PARALELAS AO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES (beta 13)

Na construção seguinte, a recta a contém o ponto A (5; 12; 6) e é paralela à recta q, definida pela origem das coordenadas e pelo ponto Q do primeiro diedro e do bissector dos diedros ímpares. Ao longo da animação, podemos ver que as rectas a e q fazem ângulos iguais com os planos de projecção, razão pela qual as suas projecções horizontal e frontal fazem também ângulos iguais com o eixo x, de abertura para o mesmo lado. Uma recta passante do bissector dos diedros ímpares (como a recta q) tem sempre projecções simétricas em relação ao eixo x; uma recta oblíqua e paralela ao bissector dos diedros ímpares (como a recta a) tem projecções equiangulares em relação ao eixo x.

Note-se que a posição da recta q varia entre passante de abertura para a esquerda ou de abertura para a direita com os planos de projecção, chegando, a certa altura (quando Q tem abcissa nula) a ocupar a posição passante de perfil. Por seu lado, a recta a, mantendo-se paralela à recta q, é uma recta oblíqua nas primeiras situações e de perfil, na última.

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UMA RECTA VERTICAL, OBLÍQUA OU PASSANTE

A construção seguinte apresenta uma recta o, definida pelo ponto A (0; 13; 8) e pelo seu traço horizontal, Ho. A abcissa do traço horizontal da recta varia entre 0 e -13 e o seu afastamento, entre 13 e 0. Ao longo da animação, a recta vai ocupando a posição vertical (quando o traço horizontal tem a mesma abcissa e afastamento de A), oblíqua e passante (quando o seu traço horizontal tem afastamento nulo).

As projecções da recta o, em cada uma das situações referidas, serão as seguintes:
- quando o é vertical, a sua projecção horizontal - (o1) - é apenas um ponto e a sua projecção frontal - o2 - é perpendicular ao eixo x;
- quando o é oblíqua, tanto o1 como o2 são oblíquas ao eixo x, embora nele não se intersectem (porque os traços horizontal e frontal da recta têm abcissas distintas);
- quando o é passante, o1 e o2 são concorrentes com o eixo x [no mesmo ponto], situação em que os traços horizontal e frontal da recta são coincidentes.

O comprimento do segmento de recta [HoA] projecta-se em verdadeira grandeza apenas na situação em que a recta o é vertical e, concretamente, entre H2o e A2). Quando a recta o é passante ou oblíqua, [HoA] não se projecta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projecção.

(Na perspectiva da esquerda, não foram atribuida notação às projecções dos traços horizontal e frontal da recta)

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS E DE SEGMENTOS DE RECTA PARALELOS AO PLANO HORIZONTAL DE PROJECÇÃO

Na construção seguinte, os pontos A (0; 4; 8) e B, com 8cm de cota, são extremos de um segmento de recta com 9cm de comprimento e definem uma recta n. O ponto B movimenta-se entre o plano de referência das abcissas e um plano frontal de 4cm de afastamento (que podem ser escondidos ou mostrados através das caixas respectivas), de modo que o segmento de recta e a recta n ocupam a posição de topo, horizontal e fronto-horizontal.

Em todas as situações, o segmento de recta projecta-se horizontalmente em verdadeira grandeza, entre A1 e B1.

As projecções horizontal e frontal da recta em relação ao eixo x variam, respectivamente, entre:
- perpendicular ao eixo x - n1 - e um ponto - (n2) - na situação de topo, quando a recta é perpendicular ao plano frontal de projecção;
- oblíqua ao eixo x - n1 - e paralela ao eixo x - n2 - na situação horizontal, quando a recta define um ângulo agudo de abertura para a direita com o plano frontal de projecção;
- paralelas ao eixo x - n1 e n2 - na situação fronto-horizontal, quando a recta têm direcção paralela ao plano frontal de projecção.


 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE RECTAS CONCORRENTES

A construção seguinte inclui, além dos planos de projecção, duas rectas r (a vermelho) e s (a azul), concorrentes num ponto C. Paralelamente, e em interdependência, inclui ainda a representação em épura dos mesmos elementos. A localização do ponto de concorrência das duas rectas varia, situando-se no espaço do primeiro diedro, entre os semiplanos horizontal anterior e frontal superior, de modo que a recta s ocupa, ao longo da animação, a posição de uma recta horizontal (quando C é um ponto de cota nula), oblíqua, de perfil (quando C tem a mesma abcissa do traço horizontal de s) e novamente oblíqua. Quando o ponto C tem afastamento nulo, as duas rectas são concorrentes no plano frontal de projecção.

Para não sobrecarregar a construção da esquerda, não foi atribuída notação aos traços horizontal e frontal das rectas r e s.

 

 

TRAÇO DE UMA RECTA NO PLANO BISSECTOR DOS DIEDROS ÍMPARES

Nesta construção, a recta s definida pelos pontos H (do semiplano horizontal anterior) e C (que se movimenta no primeiro diedro e chega, inclusive, a ter afastamento nulo) intersecta o bissector dos diedros ímpares (a vermelho) no ponto com a notação Qr que se caracteriza por ter a cota igual ao afastamento e projecções simétricas em relação ao eixo x. O traço de uma recta neste bissector poderá ter coordenadas positivas ou negativas, localizando-se, respectivamente, no primeiro (caso da recta s) ou no terceiro diedro.

O segmento de recta a verde (que é determinado, em épura, unindo a projecção horizontal do traço horizontal com a projecção frontal do traço frontal da recta) permite-nos determinar a abcissa do traço de uma recta no bissector dos diedros ímpares. Embora existam outros processos, note-se que nos será apenas possível determinar o traço de uma recta no bissector dos diedros ímpares através deste segmento de recta, única e exclusivamente nas situações em que os seus traços horizontal e frontal tenham abcissas distintas e sejam determináveis no plano do desenho.

 

PROJECÇÕES DE UM SEGMENTO DE RECTA

Os pontos de cor negra - A1, B1, A2 e B2, que correspondem às projecções horizontal e frontal dos pontos A e B - podem ser livremente movimentados.
A legenda do segmento de recta e de cada uma das suas projecções horizontal e frontal indica o seu comprimento.
Esta possibilidade permite-nos constatar em que situações o segmento de recta que tem A e B por extremos se projecta ou não em verdadeira grandeza em cada um dos planos de projecção.

A vista gráfica pode ser livremente rodada, dado que se trata de uma representação em ambiente tridimensional virtual.


 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA RECTA

Para melhor compreensão da representação diédrica da recta, apresento uma construção animada de uma recta s definida pelos ponto H de cota nula e C, que se movimenta entre o semiplano horizontal anterior e o semiplano frontal superior, de modo que a posição da recta s varia entre horizontal de cota nula (quando C se localiza no semiplano horizontal anterior), oblíqua, de perfil (quando H e C têm a mesma abicssa) e oblíqua.
Note-se que, ao longo da sua trajectória, as projecções da recta s se vão modificando. Note-se ainda que os ângulos que as projecções da recta fazem com o eixo x não correspondem, em verdadeira grandeza, aos ângulos que a recta s faz com cada um dos planos de projecção (tal só acontece na situação em que o ponto C tem cota nula e o ângulo da recta com o plano frontal de projecção corresponde, em verdadeira grandeza, ao ângulo da projecção horizontal da recta - s1 - com o eixo x).

 

Para melhor compreensão da representação diédrica da recta, a construção animada seguinte apresenta uma recta r definida pelos pontos R e S do primeiro diedro, e o plano horizontal de projecção, que é rebatido sobre o plano frontal de projecção, para representação da recta, pelas suas projecções, no plano bidimensional.

Os segmentos de recta a pontilhado de cor azul pretendem representar a recta r no espaço.


 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS LOCALIZADOS NOS DIFERENTES DIEDROS DE PROJECÇÃO

A construção seguinte permite-nos compreender a localização das projecções horizontal e frontal de pontos situados em cada um dos diedros de projecção, tanto em relação aos semiplanos de projecção, donde concluiremos que, em épura:
- as projecções horizontal e frontal de pontos do primeiro diedro de projecção localizam-se, respectivamente, para baixo e para cima do eixo x;
- as projecções horizontal e frontal de pontos do segundo diedro de projecção localizam-se, ambas, para cima do eixo x;
- as projecções horizontal e frontal de pontos do terceiro diedro de projecção localizam-se, respectivamente, para cima e para baixo do eixo x;
- as projecções horizontal e frontal de pontos do quarto diedro de projecção localizam-se, ambas, para baixo do eixo x.

Os segmentos de recta a pontilhado de cor azul pretendem representar as rectas projectantes de A (-9; 12; 6), B (0; -8; 12), C (-7; -8; -14) e D (-10; 8; -4). Para melhor compreensão da construção, não foi representado o plano de referência das abcissas, que contém o ponto B.

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE PONTOS SITUADOS NO SEGUNDO DIEDRO DE PROJECÇÃO

Na construção seguinte, um ponto P, localizado no espaço do segundo diedro tem, necessariamente, as projecções horizontal e frontal respectivamente situadas no semiplano horizontal posterior e no semiplano frontal superior. A construção animada seguinte mostra-nos que, graças ao rebatimento do plano horizontal de projecção sobre o plano frontal de frojecção, a projecção horizontal rebatida do ponto, P1, se localiza sempre para cima do eixo x (note-se que se, em alternativa, tivesse sido o plano frontal de projecção a ser rebatido sobre o plano horizontal de projecção, o resultado seria idêntico).

No plano bidimensional (isto é, em épura), podemos concluir que as projecções de qualquer ponto do segundo diedro se localizarão sempre para cima do eixo x.


 

PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

Para poder ser representada no plano bidimensional em que trabalhamos, a realidade tridimensional do sistema diédrico, definida pelo plano horizontal de projecção e pelo plano frontal de projecção (que definem entre si um diedro de 90º) deverá, necessariamente, ser planificada. A construção seguinte permite visualizar este processo, através do rebatimento do plano horizontal de projecção que, ao longo da animação, vai coincidir com o plano frontal de projecção. A charneira ou eixo deste rebatimento é o eixo x, de intersecção entre os dois planos de projecção.

O ponto P, existente no espaço do primeiro diedro, é projectado, em cada um dos planos de projecção, através de uma recta projectante horizontal e de uma recta projectante frontal (representadas a pontilhado), que definem, na intersecção com o plano de projecção a que cada uma é perpendicular: P1 (que é a projecção horizontal do ponto P) e P2 (que é a projecção frontal do ponto P).

Note-se que, ao longo da animação pré-definida, o plano horizontal de projecção, a projecção horizontal de [PP2] e a própria projecção horizontal do ponto P se movimentam, de modo a que, no plano bidimensional, as projecções P1 e P2 passam a pertencer à mesma perpendicular ao eixo x, projectando-se a distância do ponto P ao plano horizontal de projecção e a distância do ponto P ao plano frontal de projecção, em verdadeira grandeza, respectivamente, na distância de Po a P2 e na distância de Po a P1.

 

 

RECTAS PARALELAS INTERSECTAM-SE?

A construção seguinte apresenta os seguintes elementos:
- uma recta a
- uma recta b
- um ponto C, de concorrência entre as duas rectas a e b
- duas rectas a traço interrompido, paralelas entre si
- o desenho simplificado de um olho.

Imagine que ocupa a localização do olho (observador), tendo à sua frente as duas rectas a e b, concorrentes no ponto C.
As duas rectas estão em movimento, de modo que o ponto de concorrência C se afasta gradualmente do olho (isto é, da localização do observador). O ponto de concorrência das duas rectas fica progressivamente mais distante do observador, chegando inclusive, a desaparecer do plano do desenho.
Quando as rectas a e b se posicionam paralelamente entre si, o ponto de concorrência estará infinitamente longe, passando a ser um ponto impróprio, isto é, um ponto situado no infinito.
Assim, podemos concluir que duas rectas paralelas se intersectam no infinito, sendo o seu ponto de concorrência um ponto impróprio.

 

A convergência entre rectas paralelas para um ponto impróprio pode ser exemplificada na realidade, da seguinte forma:
Imagine que está de frente para uma estrada recta muito comprida. As linhas que definem os seus limites (que sabe serem paralelas entre si), convergem para um ponto longínquo - o ponto de fuga. Se tentar alcançar esse ponto, correndo pela estrada, nunca o conseguirá alcançar, porque se situa no infinito - é um ponto impróprio...

A construção seguinte mostra-nos uma circunferência cujo raio aumenta progressivamente ao longo da animação, determinando tal que a curvatura da circunferência se vai aproximando da recta t, a que a circunferência é tangente. Na situação-limite em que o centro da circunferência é um ponto impróprio, a circunferência coincide com a recta desenhada, o que nos leva a concluir que uma recta é uma circunferência de centro no infinito...

 

NOTA:

A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções sdesta página foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º. Enquanto que o desenho da esquerda é uma perspectiva, de cada uma das situações descritas, na realidade tridimensional, o desenho da direita corresponde à representação da mesma situação, em épura.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar, em alçgumas delas linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem invisibilidades dos elementos geométricos desenhados


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