A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar (excepto quando especificado):
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

O plano oblíquo é o que, de todos os oito planos, contém o maior número de rectas e, por isso mesmo, muitas vezes, o de mais difícil compreensão. E por ser oblíquo aos dois Planos de Projecção, nunca é projectante (nem sequer no sistema de representação triédrica), pelo que só poderemos ter a certeza de que um ponto lhe pertence se pertencer a uma recta do plano.

A construção seguinte demonstra como é que cada uma das cinco rectas (identificadas com cores diferentes) pode pertencer ao plano oblíquo e de que forma se representam em épura:

- a recta horizontal (a verde), pertencerá ao plano oblíquo se o seu traço frontal pertencer ao traço frontal do plano (F2h pertence a f beta) e se for paralela ao traço horizontal do plano (a sua projecção horizontal é paralela ao traço horizontal do plano, conforme já vimos aqui).

- a recta frontal (a azul escuro), pertencerá ao plano oblíquo se o seu traço horizontal pertencer ao traço horizontal do plano (H1f pertence a h beta) e se for paralela ao traço frontal do plano (a sua projecção frontal é paralela ao traço frontal do plano).

- a recta de perfil (a azul claro), pertencerá ao plano oblíquo se os seus traços horizontal e frontal pertencerem, respectivamente, aos traço horizontal e frontal do plano (F2p pertencente a f beta e H1p pertencente a h beta). De referir que, num mesmo plano oblíquo, todas as rectas de perfil serão, obviamente paralelas, pelo que o plano poderá ainda conter rectas passantes de perfil que, na construção seguinte, seria uma recta paralela à recta p, passsando pelo ponto X.

- a recta oblíqual (a vermelho), pertencerá ao plano oblíquo se os seus traços horizontal e frontal pertencerem, respectivamente, aos traço horizontal e frontal do plano (F2o pertencente a f beta e H1o pertencente a h beta).

- a recta passante (a ocre), pertencerá ao plano oblíquo se os seus traços frontal e horizontal coincidirem com o ponto em que os traços frontal e horizontal do plano se intersectam e se contiver um ponto do plano (esse ponto, por sua vez, para pertencer ao plano, deverá pertencer a outra recta do plano (na construçºão seguinte, o ponto Aé o ponto de concorrência entre as rectas f h h).

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE AO PLANO OBLÍQUO

Na construção seguinte, a recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano oblíquo alfa, obedecendo às duas condições para que uma recta horizontal pertença a um plano oblíquo, a saber:
- o seu traço frontal pertence ao traço frontal do plano (F2h pertence a f alfa)
- é paralela ao traço horizontal do plano (h1 é paralelo a h alfa).
A cota da recta varia entre:
- positiva (quando a recta se situa acima do P.H.P. e h2 está acima do eixo x);
- nula (quando a recta h pertence ao P.H.P. e h2 coincide com o eixo x, coincidindo com o traço horizontal do plano - o que nos permite acrescentar que o traço horizontal do plano oblíquo é uma recta horizontal de cota nula);
- negativa (quando a recta se situa abaixo do P.H.P. e h2 está abaixo do eixo x).

Convém ainda referir que a recta horizontal do plano oblíquo é uma das rectas notáveis deste plano, porque todos os seus pontos têm a mesma cota, ou seja, é o lugar geométrico dos pontos do plano com uma determinada cota, facto que será particularmente útil para a determinação de pontos pertencentes ao plano oblíquo dados pelas suas coordenadas.

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Na construção seguinte, a recta r pertence ao plano oblíquo beta, definido pelos seus traços nos Planos de Projecção. Mantendo-se sempre oblíquo, o plano beta varia entre plano apoiado (quando f beta e h beta têm, ambos, abertura para a direita em relação ao eixo x) e em tensão (quando f beta tem abertura para a direita e h beta abertura para a esquerda, em relação ao eixo x). Por sua vez, a recta r, sendo também sempre oblíqua aos dois Planos de Projecção, varia entre oblíqua e de perfil (quando os seus traços têm a mesma abcissa).

Uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos desse plano. Se o plano for definido pelos seus traços, esses dois pontos poderão ser os próprios traços da recta nos Planos de Projecção isto é, os traços horizontal e frontal da recta (que têm, respectivamente, cota nula e afastamento nulo) e que deverão, necessariamente, pertencer aos traços horizontal e frontal do plano.

Podemos então concluir que para que uma recta pertença a um plano definido pelos seus traços, os traços horizontal e frontal da recta deverão pertencer aos traços de mesmo nome do plano.
Na representação em épura, podemos verificar que:
- a projecção frontal do traço frontal da recta (F2) pertence ao traço frontal do plano (f beta)
- a projecção horizontal do traço horizontal da recta (H1) pertence ao traço horizontal do plano (h beta).

TRAÇOS DO PLANO NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

No desenho seguinte, o plano oblíquo beta é definido por três pontos não colineares:
- um ponto R, pertencente ao Plano Frontal de Projecção (tem afastamento nulo e cota positiva, pertencendo ao Semiplano Frontal Superior);
- um ponto P, pertencente ao Plano Horizontal de Projecção (tem afastamento positivo e cota nula, pertencendo ao Semiplano Horizontal Anterior);
. um ponto S, pertencente aos dois Planos de Projecção (e, consequentemente, ao eixo x, tendo, portanto, afastamento e cota nulos).

Através da animação, podemos ver de que modo a posição do plano no espaço determina a localização dos seus traços nos Planos de Projecção e os ângulos que cada um deles faz com o eixo x.

Os traços de um plano nos Planos de Projecção são as rectas de intersecção desse plano com os Planos de Projecção, a saber:

- h beta é o traço horizontal do plano ou recta de intersecção entre o plano beta e o Plano Horizontal de Projecção. Por pertencer a este Plano de Projecção, todos os pontos pertencentes ao traço horizontal de beta terão, necessariamente, cota nula (é o caso do próprio ponto P). Podemos ainda definir o traço horizontal de um plano como o lugar geométrico dos pontos de cota nula do plano, correspondente a uma recta horizontal do plano de cota nula.

- f beta é o traço frontal do plano ou recta de intersecção entre o plano beta e o Plano Frontal de Projecção. Por pertencer a este Plano de Projecção, todos os pontos pertencentes ao traço frontal de beta terão afastamento nulo (é o caso do ponto R). Podemos ainda definir o traço frontal de um plano como o lugar geométrico dos pontos de afastamento nulo do plano, correspondente a uma recta frontal do plano de afastamento nulo.

Quando um plano intersecta os dois Planos de Projecção, os seus traços intersectam-se sempre no eixo x, num ponto de coordenadas nulas (que corresponde ao ponto S, desta construção). Existirá uma única excepção a este caso, a do plano de rampa, cujos traços são paralelos, por se intersectarem num ponto impróprio.

Num exercício, se forem pedidos os traços de um plano beta definido por três pontos nestas condições, basta considerarmos o seguinte:
- se R tiver afastamento nulo, pertencerá, necessariamente, ao P.F.P. e ao traço frontal do plano (que é uma recta frontal de afastamento nulo), logo, R2 pertencerá a f beta;
- se P tiver cota nula, pertencerá, necessariamente, ao P.H.P. e ao traço horizontal do plano (que é uma recta horizontal de cota nula), pelo que P1 pertencerá a h beta;
- sendo S um ponto de afastamento e cota nulos, pertencerá, necessariamente, tanto ao P.F.P. como ao P.H.P., pelo que basta unirmos S1 com P1 para obtermos h beta, ou unir S2 com R2 para obtermos f beta.

Este plano beta é um plano oblíquo (porque é oblíquo aos dois Planos de Projecção), variando, neste desenho, entre plano apoiado e plano em tensão.
Um plano apoiado, tem os seus traços frontal e horizontal com abertura para o mesmo lado (neste caso, para a direita):

Um plano em tensão, tem os seus traços com aberturas para lados diferentes (neste caso, o frontal tem abertura para a direita, o horizontal tem abertura para a esquerda):

CONDIÇÕES DE PERTENÇA DE UMA RECTA A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas b e c, oblíquas aos Planos de Projecção e paralelas entre si, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta p é uma recta pertencente ao plano, intersectando as rectas b e c nos pontos R e P, respectivamente.
Ao longo da sua trajectória, a recta p vai ocupando diferentes posições em relação aos Planos de Projecção, variando entre oblíqua, horizontal, oblíqua, frontal, oblíqua, de perfil e novamente oblíqua. Todas estas rectas poderão pertencer ao plano oblíquo, mediante determinadas condições, como veremos posteriormente.
Sabemos que a recta p pertence ao plano alfa porque contém dois pontos do plano - os pontos R e P - que, por sua vez, pertencem a rectas do plano: R pertence à recta b, enquanto que P pertence à recta c.
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta p foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura).

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se soubermos que pelo menos dois dos pontos da recta pertencem ao plano, então, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano quando pertence a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes).

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO (SEM DETERMINAÇÃO DOS SEUS TRAÇOS)

Na construção seguinte, as rectas concorrentes a e b, oblíquas aos Planos de Projecção, definem um plano alfa, também oblíquo aos Planos de Projecção.
A recta h é uma recta horizontal pertencente ao plano, que intersecta as rectas a e b nos pontos S e R, respectivamente.
Observando o desenho, podemos constatar que a recta h pertence ao plano porque contém dois pontos do plano (os pontos R e S), que, por sua vez, pertencem a rectas do plano (R e S pertencem, respectivamente, às rectas b e a).
Para facilitar a compreensão do desenho da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos pontos determinados. Para melhor compreensão do exercício, apenas a recta h foi desenhada a traço expressivo (na representação em épura).

Um dos objectivos desta construção é o de desenvolver a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se pelo menos dois dos pontos da recta pertencerem ao plano, obviamente, todos os pontos da recta pertencerão também ao plano);

- um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam planos não-projectantes, como veremos mais adiante).

Podemos, a partir destes conceitos e sem determinar ainda os traços do plano, resolver os seguintes exercícios:

1.Determina as projecções de duas rectas p e q, sabendo que:
- São concorrentes no ponto P (5; 4,5)
- A recta p é oblíqua e paralela ao beta 24
- A projecção frontal da recta p faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- A recta q é passante, fazendo a sua projecção horizontal, com o eixo x, um ângulo de 40º com abertura para a direita
1.1. Considerando que as rectas p e q definem um plano, determina as projecções de uma recta horizontal h com 3cm de cota pertencente a esse plano.

2. Considera um plano definido por duas rectas concorrentes a e b, sabendo que:
- O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto P (2; 3,5)
- A recta a é oblíqua
- As projecções horizontal e frontal da recta a fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 30º e 45º, ambos com abertura para a esquerda
- A recta b é oblíqua e paralela ao beta 13
- A projecção horizontal da recta b faz, com o eixo x, um ângulo de 60º, com abertura para a direita
a) Determina as projecções de uma recta h horizontal, com 5cm de cota, pertencente ao plano.