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CONSTRUÇÕES DINÂMICAS PARA VISUALIZAÇÃO DE CONTEÚDOS RELATIVOS AO SISTEMA DIÉDRICO - PONTOS, RECTAS E PLANOS (ver nota)

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

CONDIÇÕES DE PERTENÇA DE UMA RECTA A UM PLANO

PONTOS PERTENCENTES A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

RECTAS HORIZONTAIS DE UM PLANO

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA

 

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO DE RAMPA

A construção seguinte apresenta um plano de rampa e três das suas rectas: o (oblíqua), p (de perfil) e b, fronto-horizontal, concorrentes entre si no ponto C.
Sabemos que são rectas do plano, porque todos os seus pontos são pontos do plano.
Note-se que, quando os traços horizontal e frontal da recta o têm igual abcissa, a recta passa a ser de perfil, coincidindo com a recta p.

Sendo oblíquo aos planos de projecção e perpendicular ao plano de referência das abcissas, o plano de rampa é um plano não projectante no sistema diédrico, mas projectante no sistema triédrico.

Os pontos indicados podem ser movimentados, para atestar as diferentes localizações dos pontos de cada uma das rectas.

 

 

 

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES AO PLANO OBLÍQUO

O plano oblíquo é o que, de todos os planos, contém o maior número de rectas e, por isso mesmo, muitas vezes, o de mais difícil compreensão. Sendo oblíquo aos planos de projecção e ao plano de referência das abcissas, é um plano não projectante, tanto no sistema diédrico como no triédrico. As construções animadas seguintes demonstram os seis tipos de rectas que podem pertencer a um plano oblíquo (cujos traços horizontal e frontal, neste caso, fazem ângulos de 50º e 65º de abertura para a direita com o eixo x).

Em cada uma das construções, os pontos indicados podem ser movimentados, para atestar as diferentes localizações dos pontos de cada uma das rectas.

A primeira construção apresenta-nos as rectas h (horizontal), f (frontal) e p, passante e concorrente com as rectas anteriores no ponto C.
Note-se que:
- a recta h horizontal (a castanho), pertence ao plano oblíquo porque o seu traço frontal pertence ao traço frontal do plano e é paralela ao traço horizontal do plano (que é também uma recta horizontal, mas de cota nula, conforme podemos ver aqui).
- a recta f frontal (a laranja), pertence ao plano oblíquo porque o seu traço horizontal pertence ao traço horizontal do plano e é paralela ao traço frontal do plano, que é a recta frontal de afastamento nulo do plano.
- a recta p passante (a vermelho) pertence ao plano oblíquo, porque intersecta os planos de projecção no mesmo ponto em que o plano intersecta o eixo x e porque contém outro ponto do plano que, no caso, é o de concorrência entre as rectas h e f. Note-se que, quando o ponto de concorrência C tem abcissa igual à do ponto em que o plano intersecta o eixo x, a recta p ocupa a posição de recta passante de perfil, única no plano.

 

 

RECTAS HORIZONTAIS DE UM PLANO

Na construção seguinte, o plano representado é definido pelos pontos A (0; 0; 5) e B (4,5; 0; 2) e pelas suas rectas horizontais, que fazem ângulos de 63º de abertura para a direita com o plano frontal de projecção. A recta h é uma recta horizontal, de cota variável, contida no plano - ao longo da animação pré-definida, o traço frontal da recta h pertence ao traço frontal do plano e a sua projecção horizontal - h1 - é paralela ao traço horizontal do plano.

Num plano não paralelo ao plano horizontal de projecção, todas as rectas horizontais são paralelas entre si.

Na situação em que o traço frontal da recta h é um ponto do eixo x, h coincide com o traço horizontal do plano, confirmando que este corresponde à intersecção do plano com o plano horizontal de projecção, e, portanto, à recta de cota nula do plano. Dependendo da orientação do plano no espaço, o seu traço horizontal poderá ser uma recta horizontal, de topo ou fronto-horizontal.

A recta horizontal de um plano é uma das suas rectas notáveis, correspondendo ao lugar geométrico dos pontos do plano com uma determinada cota. Junto com as rectas frontais do plano, a recta horizontal é uma das rectas principais do plano, rectas estas que nos serão particularmente úteis, por exemplo, para a determinação de um ponto, dado pela sua cota e afastamento, pertencente a um plano não-projectante.

As notações atribuídas aos traços horizontal e frontal do plano podem ser simplificadas, mantendo apenas as correspondentes à projecção horizontal e frontal dos traços horizontal e frontal do plano, sem o número da projecção respectiva.

 

 

RECTA PERTENCENTE A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Na construção seguinte, a recta s é definida pelos pontos Hs (4; 11; 0) e C (do primeiro diedro) que, por sua vez, pertencem ao plano que contém a origem das coordenadas. O plano representado varia de posição, entre oblíquo apoiado (quando os seus traços horizontal e frontal têm, ambos, abertura para a esquerda em relação ao eixo x), vertical (quando C tem abcissa nula e o traço frontal do plano é perpendicular ao eixo x) e em tensão (quando os traços horizontal e frontal do plano definem ângulos, com o eixo x, de aberturas para lados diferentes). Por sua vez, a recta s, mantendo-se também oblíqua aos dois planos de projecção, varia entre oblíqua e de perfil (quando C e Hs têm igual abcissa).

Uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos desse plano. Se o plano for definido pelos seus traços, esses dois pontos poderão ser os próprios traços horizontal e frontal da recta (respectivamente, os seus pontos de cota nula e de afastamento nulo) que deverão, necessariamente, pertencer aos traços horizontal e frontal do plano. A construção seguinte nos demonstra-nos que uma recta pertencente a um plano tem os seus traços horizontal e frontal contidos nos traços de mesmo nome do plano.

Para facilitar a compreensão da perspectiva da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos traços horizontal e frontal das rectas.

 

 

PONTOS PERTENCENTES A UM PLANO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS NOS PLANOS DE PROJECÇÃO

Na construção seguinte, os traços do plano representado foram definidos a partir dos pontos A (4; 10; 0), B (0; 0; 0) e C, do semiplano frontal superior.
Note-se que, embora a orientação do plano varie, ao longo da animação, entre oblíqua (em tensão, porque os seus traços horizontal e frontal definem, com o eixo x, ângulos de aberturas para lados diferentes)  e vertical (na situação em que C tem abcissa nula), em qualquer situação:
- sendo A um ponto de cota nula do plano, a sua projecção horizontal - A1 - pertence à projecção horizontal do traço horizontal do plano (que coincide com o próprio traço horizontal do plano) e a projecção frontal - A2 - pertence à projecção frontal do traço horizontal do plano (que coincide com o eixo x);
- por sua vez, a projecção horizontal do ponto C (de afastamento nulo) - C1 - pertence à projecção horizontal do traço frontal do plano (que coincide com o eixo x) e a projecção frontal - C2 - à projecção frontal do traço frontal do plano (que coincide com o próprio traço frontal do plano);
- o ponto B é o ponto em que o plano intersecta o eixo x, que, como tal, tem afastamento e cota nulos e pertence aos traços do plano.
Foi ainda representada a recta frontal do plano que contém o ponto A e, nesta, definido um ponto D que, pertencendo a esta recta do plano, pertence também ao plano.

Concluiremos assim, que um ponto pertence a um plano quando pertence a uma recta do plano, uma vez que:
- sendo A um ponto do plano, pertence ao seu traço horizontal que é a recta horizontal de cota nula do plano;
- sendo C um ponto do plano, pertence ao seu traço frontal, que é a recta frontal de afastamento nulo do plano;
- D pertence ao plano, porque pertence a uma recta do plano (neste caso, frontal, de afastamento positovo)

As notações atribuídas aos traços horizontal e frontal do plano podem ser simplificadas, mantendo apenas as correspondentes à projecção horizontal e frontal dos traços horizontal e frontal do plano, sem o número da projecção respectiva.


 

CONDIÇÕES DE PERTENÇA DE UMA RECTA A UM PLANO

O plano representado na construção seguinte é definido por R (0; 6; 3); S (-7; 2; 9) e T (5; 3; 5). A recta r é uma recta do plano, porque contém os pontos R e S; a recta t é também uma recta do plano, porque, sendo paralela à recta r, contém o ponto T. O plano definido pelos três pontos não colineares é um plano oblíquo aos planos de projecção, de traços horizontal e frontal oblíquos ao eixo x. Note-se que, confirmando o que atrás foi dito, como rectas do plano que são, os traços horizontais e frontais das rectas r e t pertencem aos traços de mesmo nome do plano - estes foram, aliás, determinados em épura, a partir dos traços horizontais e frontais das rectas r e t.
A recta a é uma recta pertencente ao plano, concorrente com as rectas r e t nos pontos R e A, respectivamente. Ao longo da sua trajectória, a direcção da recta a vai variando entre oblíqua, horizontal (quando coincide com a linha verde a traço interrompido, paralela ao traço horizontal do plano), oblíqua, frontal (ao coincidir com a linha laranja a traço interrompido, paralela ao traço frontal do plano) e novamente oblíqua. Sabemos que a recta a pertence ao plano porque contém dois pontos do plano - os pontos R e A - que, por sua vez, pertencem a rectas do plano, respectivamente, r e t.
Para facilitar a compreensão da perspectiva da esquerda, não foram atribuídas notações às projecções dos traços horizontal e frontal das rectas; com o mesmo objectivo, apenas a recta a foi desenhada a traço expressivo.

 

 

RECTA HORIZONTAL PERTENCENTE A UM PLANO

Na construção seguinte, as rectas r e s concorrentes no ponto C definem um plano oblíquo aos planos de projecção.
A recta h é uma recta horizontal do plano, que intersecta as rectas r e s nos pontos R e S, respectivamente.
Podemos constatar que a recta h pertence ao plano porque contém (pelo menos) dois pontos do plano (R e S), que, por sua vez, pertencem a rectas do plano (respectivamente, as rectas r e s). Note-se que, mesmo na situação em que os pontos R e S não pertencem à area enquadrada pelos "limites" do plano, a recta continua a ser paralela ao plano horizontal de projecção.
Para facilitar a compreensão da perspectiva (à esquerda), não foram atribuídas notações às projecções R e de S.

Um dos objectivos desta construção é o de proporcionar a compreensão destes conceitos:

- uma recta pertence a um plano quando contém dois pontos do plano (se a recta tiver apenas um ponto em comum com o plano, não lhe pertencerá, sendo-lhe, pelo contrário, concorrente; por outro lado, se pelo menos dois pontos da recta pertencerem ao plano, todos os pontos da recta pertencem ao plano);

- um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta do plano (na resolução de um exercício, teremos absoluta certeza que um ponto pertence a um plano se pertencer a uma recta desse plano. Esta noção será especialmente importante para a resolução de exercícios que envolvam a representação de rectas contidas em planos não-projectantes).

- todas as rectas de um mesmo plano que sejam paralelas a um dos planos de projecção são paralelas entre si.

 

 

NOTA:

A representação dos Planos de Projecção e restantes elementos nas construções seguintes foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos planos de projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional (em épura) os elementos e figuras resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.


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