As construções que integram a representação dos Planos de Projecção foram realizados em Perspectiva Cavaleira, considerando o ângulo das projectantes com o Plano Axonométrico de 45º e o ângulo entre os eixos axonométricos z e y de 135º.

Para melhor visualização e compreensão das situações representadas, optei por representar a traço contínuo fino as porções de segmentos de recta e de rectas que não seriam visíveis, caso fosse atribuída opacidade aos Planos de Projecção.
Na representação dos mesmos elementos no plano bidimensional, em épura, os elementos resultantes e/ou pedidos são representados a traço expressivo, conforme as convenções gráficas e as notações usuais aplicáveis.

Para facilitar a visualização e compreensão destes desenhos, optei por representar:
- o Plano Frontal de Projecção e todas as projecções frontais com a cor castanha-amarelada (ocre)
- o Plano Horizontal de Projecção e as projecções horizontais com a cor azul (turquesa claro)
- o eixo x a azul escuro
- pontos, rectas e segmentos de recta existentes no espaço tridimensional com a cor preta (expressiva, em alguns casos)
- linhas auxiliares de construção do desenho a traço fino (por vezes interrompido, ainda que não identifiquem, necessariamente, invisibilidades dos elementos geométricos desenhados.

DETERMINAÇÃO PRÉVIA DO TIPO DE SECÇÃO PRODUZIDA NO CONE POR UM PLANO PROJECTANTE

Sempre que nos deparamos com este tipo de problema, é conveniente que saibamos, de antemão, qual será o tipo de secção produzida no cone, de modo a melhor podermos escolher o processo de resolução a utilizar.

Tomando como exemplo um cone de revolução de base horizontal e desenhando uma linha paralela ao traço absorvente do plano secante, passando pelo vértice do cone (desenhada a verde nas imagens seguintes), podemos estabelecer as seguintes conclusões:

A secção produzida no cone será uma ELIPSE se a paralela ao traço absorvente não intersectar a projecção do cone no Plano de Projecção a que o plano secante é perpendicular (por exemplo: se o traço absorvente do plano for o frontal, a paralela não intersectar a projecção frontal do cone). Tal significa que o plano secante é oblíquo a todas as geratrizes do cone, tal como acontece a certa altura deste exercício.

De salientar que a secção produzida no cone continuará a ser uma ELIPSE, se a paralela ao traço absorvente não intersectar a projecção do cone no Plano de Projecção a que o plano secante é perpendicular, e mesmo que o plano intersecte a projecção homónima da base do cone. O plano secante continua a ser oblíquo a todas as geratrizes do cone e a secção produzida será um arco de elipse, tal como acontece a certa altura deste exercício.

A secção produzida no cone será uma PARÁBOLA se a paralela ao traço absorvente coincidir com a projecção de uma das geratrizes de contorno aparente do cone, no Plano de Projecção a que o plano secante é perpendicular. Tal significa que o plano secante é paralelo a uma (e apenas uma) geratriz do cone (neste caso, a geratriz [CV]):

A secção produzida no cone será uma HIPÉRBOLE se a paralela ao traço absorvente intersectar a projecção do cone no Plano de Projecção a que o plano secante é perpendicular. Tal significa que o plano secante é paralelo a duas geratrizes do cone (a seguir identificadas com as notações f e g - notações habitualmente utilizadas para rectas, embora correspondam a segmentos de recta):

Neste primeiro caso, o plano secante é de topo e as geratrizes são oblíquas aos dois Planos de Projecção:

(a editar)

Neste caso, o plano secante é frontal, paralelo às geratrizes f e g de contorno aparente, que, dada a posição deste cone, são segmentos de recta frontais:

Neste outro caso, o plano secante é de perfil, paralelo às geratrizes f e g de contorno aparente, que, dada a posição deste cone, são segmentos de recta de perfil:

Neste caso, o plano secante é vertical, paralelo a duas geratrizes g e f do cone quew, dada a posição deste cone, são segmentos de recta oblíquos:

Note-se que estas conclusões, desde que necessariamente adaptadas, serão igualmente válidas, seja qual for a posição do plano que contém a base do cone em relação aos Planos de projecção e independentemente do facto de o cone ser recto ou oblíquo.

SECCÃO PARABÓLICA PRODUZIDA NUM CONE OBLÍQUO DE BASE HORIZONTAL

A construção seguinte corresponde à representação diédrica de um cone oblíquo situado no espaço do primeiro diedro (de base horizontal e com o vértice situado abaixo do plano da base), seccionado por um plano de topo beta.

Este plano beta produzirá, neste cone, uma figura de secção correspondente a uma curva cónica com a configuração de uma parábola, pelo facto de ser paralelo à geratriz [CV] (note-se que o traço frontal do plano beta é paralelo à projecção frontal de [CV]).

Os pontos de secção S e W foram determinados com recurso a um plano horizontal auxiliar teta, que produziu no cone uma figura de secção circunferencial de centro no ponto M, pertencente ao eixo do cone (aqui representado a traço interrompido).

A parábola está desenhada, a traço contínuo fino, em toda a sua extensão (considerando-se, para o efeito, a superfície cónica com cota superior ao vértice).

Nesta primeira construção, introduzi uma deslocação contínua do ponto em que o plano secante intersecta o eixo x para que se verifiquem as diferentes possibilidades da secção parabólica produzida no cone (que aqui não foi representada com o traço adequadamento expressivo ou diferenciado):

Com idêntico, objectivo, a construção seguinte apresenta a animação do vértice do cone ao longo de um segmento de recta de topo de cota nula.

O segmento de parábola correspondente à secção produzida no cone está desenhada, a traço contínuo expressivo verde nos segmentos em que é visível em projecção horizontal.

TRÊS TIPOS DE SECCÃO PRODUZIDA NUM CONE RECTO DE BASE HORIZONTAL

A construção seguinte corresponde à representação diédrica de um cone de revolução situado no espaço do primeiro diedro, de base horizontal e com o vértice contido no Plano Horizontal de Projecção, seccionado por um plano de topo delta. Para melhor compreensão da situação, o tronco de cone resultante da secção produzida, situado entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção foi representado com traço expressivo e o interior da secção preenchida com uma mancha cinzenta clara e uniforme.

Este plano delta produzirá, neste cone, uma figura de secção correspondente a uma curva cónica, cuja configuração variará entre uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, consoante o plano secante seja oblíquo a todas as geratrizes do cone, paralelo a uma única ou a duas delas.

Esta situação poderá ser verificada através da linha paralela ao traço absorvente do plano que passa pela projecção do vértice do cone a que o plano secante é perpendicular (a linha auxiliar com a notação "// f delta").

Note-se que:

- ao longo da sua trajectória, o plano será oblíquo a todas as geratrizes, quando a linha referida não intersectar a projecção frontal do cone, donde se conclui que, sendo delta oblíquo a todas as geratrizes, produzirá, no cone, uma seccção elíptica.

- numa única situação, a linha auxiliar coincidirá com a geratriz de contorno aparente que contém o ponto da base situado mais à direita (C). Neste caso, a secção produzida será uma parábola, porque o plano é paralelo a uma única gertriz do cone (a geratriz [CV]).

- finalmente, quando a linha auxiliar intersectar a projecção frontal do cone em dois pontos, a secção produzida será uma hipérbole, porque o plano secante é paralelo a duas geratrizes do cone.

As projecções dos pontos de secção X e Y foram determinadas com o auxílio de um plano secante auxiliar beta que, por ser paralelo ao plano da base do cone, nele produziu uma figura de secção circunferencial, concêntrica à base do cone.

Os tipos de secção produziveis no cone poderão ser melhor compreendidos se consultar as restantes entradas desta página relativas a este assunto.

Por envolver o traçado de cónicas, a construção anterior poderá apresentar alguns problemaas de visualização. Se for o caso, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar.

SECCÃO CIRCUNFERENCIAL PRODUZIDA NUM CONE OBLÍQUO DE BASE HORIZONTAL

A construção seguinte corresponde à representação diédrica de um cone oblíquo situado no espaço do primeiro diedro, de base contida no Plano Horizontal de Projecção, seccionado por um plano horizontal niú. Para melhor compreensão da situação, o tronco de cone resultante da secção produzida, situado entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção foi representado com traço expressivo.

Sendo o plano secante paralelo ao plano da base, a secção produzida no sólido será sempre semelhante à base. O centro da seccão produzida pertencerá ao eixo do cone, dado que o cone é oblíquo.

Nesta primeira construção, a cota do plano secante é variável, seccionando sempre o cone:

Nesta outra construção, é o vértice do cone que se movimenta, enquanto que o plano secante se mantém fixo:

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA SECÇÃO PRODUZIDA, POR UM PLANO VERTICAL, NUM PRISMA PENTAGONAL DE BASES FRONTAIS

As construções seguintes correspondem à representação diédrica da secção produzida, por um plano secante vertical, num prisma pentagonal de bases regulares e paralelas ao Plano Frontal de Projecção, situado no espaço do primeiro diedro. As arestas laterais do prisma são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção.

Para a resolução do exercício, considerou-se que: o ponto O é o centro da base de maior afastamento do prisma, a circunferência que circunscreve o pentágono dessa base é tangente ao Plano Horizontal de Projecção e que as arestas laterais do prisma são paralelas ao Plano Horizontal de Projecção.

No primeiro caso, o prisma é oblíquo, porque o eixo [OM] e as suas arestas laterais fazem ângulos de 27º com o Plano Frontal de Projecção (de abertura para a esquerda). O plano secante beta movimenta-se, seccionando sempre o prisma.
Para melhor compreensão do desenho, as projecções do tronco de prisma situado entre o Plano Frontal de Projecção e o plano secante foram representadas a traço expressivo preto.

Neste outro caso, o plano secante mantém-se fixo e é o prisma que se movimenta, variando o ângulo que o eixo [OM] e as arestas laterais do prisma fazem, com o Plano Frontal de Projecção, entre os 15º e os 90º (entre 15º e 89º, com abertura para a esquerda).
Durante esta animação, o prisma tanto é oblíquo como recto (neste último caso, com a base de menor afastamento contida no Plano Frontal de Projecção).
A figura de secção produzida pelo plano secante varia também, de acordo com a animação do sólido.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA SECÇÃO PRODUZIDA, POR UM PLANO VERTICAL, NUMA PIRÂMIDE HEXAGONAL REGULAR DE BASE HORIZONTAL

A construção seguinte corresponde à Representação Diédrica de uma pirâmide hexagonal regular de base horizontal, com o vértice principal situado acima do plano da base, seccionada por um plano vertical (definido por um ponto X, do eixo x e por um ponto W, do Semiplano Horizontal Anterior).

Os vértices da figura de secção produzida são determinados na intersecção entre o traço absorvente do plano alfa (h alfa) e a projecção horizontal da pirâmide.

De acordo com a animação pré-definida, a figura de secção será variável, consoante as arestas laterais e as arestas da base que o plano secante intersectar.

Note-se que os lados da figura de secção serão visíveis ou não, na projecção frontal, consoante as respectivas faces laterais sejam os não visíveis na mesma projecção.

A construção seguinte é idêntica à anterior, excepto pelo facto de incluir a representação de verdadeira granmdeza da figura de secção produzida, determinada através do rebatimento do plano secante beta sobre o Plano Frontal de Projecção:

Neste exercício de uma outra pirâmide, também hexagonal regular de base horizontal (mas com o vértice principal situado abaixo do plano da base), é produzida uma figura de secção, por um plano secante semelhante ao do exercício anterior.

Observação: As invisibilidades das arestas da pirâmide e dos lados da figura de secção deveriam ter um traçado interrompido mais expressivo do que o que o programa utilizado permite.

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA SECÇÃO PRODUZIDA, POR UM PLANO PASSANTE, NUM CILINDRO OBLÍQUO DE BASES HORIZONTAIS

Nos desenhos seguintes, um cilindro oblíquo de bases horizontais é seccionado por um plano passante alfa, produzindo naquele uma figura de secção elíptica.
Esta figura de secção foi determinada com recurso a uma terceira projecção, obtida no plano de perfil zy e os pontos de secção determinados na intersecção entre o traço absorvente do plano passante (l alfa) e a projecção lateral do cilindro.

Observação: A parte da elipse situada fora dos limites do sólido não faz, obviamente, parte da figura de secção produzida no mesmo (esta elipse é a figura de secção produzida pelo plano secante alfa sobre a superfície cilíndrica definida pelas geratrizes do cilindro).

Neste primeiro desenho, o cilindro mantém-se fixo e é o plano passante que se movimenta:

Neste caso, o plano passante mantém-se fixo e o cilindro é que se movimenta:

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DA SECCÃO PRODUZIDA, POR UM PLANO DE TOPO, NUMA PIRÂMIDE RECTA DE BASE HORIZONTAL

O desenho seguinte corresponde à representação, em épura, de uma pirâmide quadrangular regular, de base horizontal, seccionada por um plano de topo (representado a verde pelos seus traços horizontal e frontal). Depois de determinadas as projecções da pirâmide e dos traços do plano, basta determinarmos os pontos de secção entre estes dois elementos.

Este desenho pretende prestar um esclarecimento adicional a um aluno que me enviou, por e-mail, uma dúvida sobre um exercício semelhante:

Sendo o plano de topo um plano projectante frontal (por ser perpendicular ao Plano Frontal de Projecção e conter rectas projectantes frontais), estes pontos de secção são determinados quando o seu traço absorvente (o traço frontal, o que "absorve" as projecções frontais de todos os pontos, segmentos de recta, rectas e figuras contidas no plano) intersecta a projecção frontal das arestas da pirâmide (laterais ou da base, consoante o ângulo que o plano faz com o Plano Horizontal de Projecção).
O plano secante e a figura de secção foram desenhados a verde, para melhor compreensão do exercício; o plano horizontal que contém a base da pirâmide foi representado pelo seu traço frontal. O tronco de pirâmide resultante do arrancamento do segmento volumétrico determinado pela secção produzida pelo plano secante não foi representado a traço expressivo.

SECÇÕES PRODUZIDAS EM SÓLIDOS - CONCLUSÕES GERAIS

Sempre que um sólido é seccionado por um plano projectante, os pontos de secção serão determináveis na intersecção entre o traço absorvente do plano e a projecção do sólido correspondente, a saber:

- se o plano secante for horizontal, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o seu traço (único) frontal e a projecção frontal do sólido (após o qual se determinará então a projecção horizontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for frontal, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o seu traço (único) horizontal e a projecção horizontal do sólido (após o qual se determinará então a projecção frontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for de topo, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o seu traço frontal e a projecção frontal do sólido (após o qual se determinará então a projecção horizontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for vertical, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o seu traço horizontal e a projecção horizontal do sólido (após o qual se determinará então a projecção frontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for de perfil, as projecções frontal e horizontal dos pontos de secção determinar-se-ão, respectivamente, na intersecção entre os traços frontal e horizontal do plano e a projecção frontal e horizontal do sólido, uma vez que o plano de perfil, contendo rectas projectantes frontais e horizontais, é um plano duplamente projectante.

- se o plano secante for de rampa, os pontos de secção poderão ser determinados na intersecção entre o seu traço lateral e a projecção lateral do sólido, com recurso à representação triédrica (e após o qual se determinarão então, por inversão do processo, as projecções frontal e horizontal de cada ponto de secção).

- se o plano secante for (de rampa) passante, os pontos de secção poderão ser determinados na intersecção entre o seu traço lateral e a projecção lateral do sólido, com recurso à representação triédrica (e após o qual se determinarão então, por inversão do processo, as projecções frontal e horizontal de cada ponto de secção).

- se o plano secante for oblíquo (não-projectante no sistema diédrico ou triédrico), os pontos de secção deverão ser determinados com recurso ao Método Geral de Intersecção de Planos, considerando-se um plano auxiliar para cada face ou aresta do sólido e determinando-se a intersecção de cada uma com o plano oblíquo dado.