sistema diédrico - exercícios

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manual de geometria descritiva

gd no ensino secundário

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Outro exercício envolvendo Distâncias, que também fez parte de um dos meus testes do ano lectivo de 2009/2010, resolvido sequencialmente.

O enunciado é o seguinte:

Determina, graficamente, a verdadeira grandeza da distância d, entre o ponto A e o plano alfa, sabendo que:

- A (5; 7,5; 7,5)

- o plano alfa, perpendicular ao bissector dos diedros pares, contém a origem das coordenadas e o ponto B (-5; 0; -7,5)

 

Na proposta de resolução seguinte, resolvida no Sistema de projecção Diédrica, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os pontos A e B, devemos definir os traços do plano alfa, que sabemos serem coincidentes (dada a posição do plano em relação ao bissector dos diedros pares); unindo B2 com a origem das coordenadas, definimos o traço frontal do plano, coincidente com o seu traço horizontal.

2. Para determinação da distância procurada, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta p, perpendicular ao plano oblíquo, que terá as suas projecções frontal e horizontal respectivamente perpendiculares aos traços homónimos do plano.

3. A seguir, determinaremos o ponto I de intersecção entre esta recta p e o plano alfa, para o qual necessitaremos de recorrer ao Método Geral de Intersecção de uma recta com um plano - contendo a recta p, desenhamos um plano auxiliar projectante (neste caso, de topo), que intersectará o plano alfa segundo a recta oblíqua i, definida pelos seus traços frontal e horizontal (determinados pela intersecção entre os traços homónimos dos planos alfa e beta)

4. A distância pedida corresponde à verdadeira grandeza do segmento de recta [AI], que aqui foi determinada com recurso ao rebatimento do plano beta sobre o Plano Horizontal de Projecção.

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RECTA

o exercício seguinte fez parte de um teste sobre Distâncias que fiz aos meus alunos durante o ano lectivo de 2009/2010 e está aqui resolvido sequencialmente.

O enunciado é o seguinte:

Determina, graficamente, a verdadeira grandeza da distância d, entre o ponto A e a recta r, sabendo que:

- A (-5; 5; 5)

- A recta r é definida pela origem das coordenadas e pelo ponto C (5; -5; 5).

 

Na primeira proposta de resolução apresentada a seguir, resolvida no Sistema de projecção Diédrica, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, devemos definir, pelo ponto A, um plano perpendicular à recta dada.

2. O facto de esta ser passante do bissector dos diedros pares determina que o plano a definir será oblíquo e perpendicular a esse plano bissector, tendo, portanto, os traços frontal e horizontal coincidentes e oblíquos ao eixo x. Antes de os definirmos, porém, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal ou frontal de direcção perpendicular à recta dada (na solução apresentada, optou-se por definir a recta frontal f).

3. Determinando o traço desta última recta no Plano de Projecção que ela intersecta, podemos desenhar os traços frontal e horizontal do plano, respectivamente perpendiculares às projecções homónimas da recta dada. Note-se que, pela posição da recta, os traços do plano alfa serão, como antes se disse, necessariamente coincidentes.

4. A seguir, determinamos o ponto I, de intersecção entre a recta dada e este plano - sendo este um plano não-projectante, devemos recorrer ao Método Geral de Intersecção de uma recta com um plano, utilizando um plano auxiliar que contenha a recta r (neste caso, optou-se pelo plano de topo beta)

5. Determinamos os traços frontal e horizontal da recta i, de intersecção entre os planos alfa e beta, após o qual definimos as suas projecções.

6. O ponto em que as rectas r e i se intersectam corresponde ao ponto I, de intersecção entre o plano alfa e a recta r.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza do segmento de recta que une os pontos A e I - nesta resolução, esta foi determinada com recurso à Mudança do Plano Horizontal de Projecção (para o qual se desenhou um novo eixo x, paralelo à projecção frontal de [AI] e a partir do qual se definiram as novas projecções horizontais dos pontos A e I, marcando a medida dos respectivos afastamentos).

8. A distância determinada foi representada a traço expressivo e identificada com as notações d1 e d2 e d' (em verdadeira grandeza)

 

A proposta de resolução seguinte, também resolvida no Sistema Diédrico, foi executada mediante o seguinte processo:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, devemos determinar os traços do plano (beta) que contém a recta r e o ponto A. Para tal, podemos desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal a, que será concorrente com a recta r no ponto C (note-se que a1 coincidirá com r1).

2. Determinamos o traço frontal da recta a.

3. Unindo-o ao traço frontal da recta r (situado na origem das coordenadas), definiremos o traço frontal do plano beta, que será perpendicular ao eixo x, visto que o plano beta é um plano vertical (como aliás, já poderíamos ter concluído, pelo facto de a projecção horizontal das rectas a e r serem coincidentes).

4. Rebatendo este plano sobre o Plano Frontal de Projecção, definiremos o rebatimento dos pontos A e C.

5. Unindo C rebatido à origem das coordenadas (aonde se situam os traços da recta r em rebatimento), definiremos a recta r rebatida.

6. Em rebatimento, e a partir de A, podemos desenhar uma recta p, perpendicular à recta r e que a intersectará no ponto I.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza de [AI], representada com traço expressivo de cor azul e a que foi atribuída a notação dr.

8. Contra-rebatendo o ponto I, definimos as suas projecções frontal e horizontal, que serão coincidentes, porque I pertence ao bissector dos diedros pares (o traçado da perpendicular ao eixo x e do o arco de circunferência seria desnecessário, razão pela qual está representado a traço interrompido, embora não corresponda, evidentemente, a qualquer invisibilidade)

9. A distância determinada foi representada a traço expressivo e identificada com as notações d1 e d2.

 

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

SOMBRA DE UM PRISMA QUADRANGULAR OBLÍQUO DE BASES DE PERFIL, CONSIDERANDO A DIRECÇÃO LUMINOSA CONVENCIONAL

A construção seguinte corresponde à determinação das sombras própria e projectada de um prisma oblíquo de bases de perfil, considerando a direcção luminosa convencional, resolvida passo-a-passo no sistema de representação diédrica.

Para este exercício, foram considerados os seguintes dados:

- o prisma tem bases rectangulares e situa-se totalmente no espaço do primeiro diedro

- A (8,5; 5,5), B e C são vértices consecutivos da base do prisma situada mais à esquerda

- B e C pertencem, respectivamente ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção

- a aresta [AB] tem 6cm de comprimento

- as projecções frontal e horizontal das arestas laterais do prisma fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 25º e 33º

- o prisma tem 6cm de altura.

Para a resolução do exercício, salientam-se os seguintes aspectos:

- se B e C pertencem ao mesmo plano de perfil e, respectivamente ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção, podemos, em primeira mão, definir a projecção frontal de B e a projecção horizontal de C, coincidentes e pertencentes ao eixo x, dado que terão, respectivamente, cota e afastamento nulos

- haverá, evidentemente, necessidade de utilizar um Método Geométrico Auxiliar para a determinação das projecções das bases do prisma - nesse sentido, e na proposta de resolução apresentada, o plano de perfil que contém a base [ABCD] foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção

- a linha separatriz foi determinada com recurso ao procedimento habitual para a determinação de sombras de prismas, que pode ser consultado aqui:

- definimos um ponto P, exterior ao prisma e por ele desenhamos uma recta a, paralela à aresta lateral do prisma e uma recta d, paralela à direcção luminosa;

- determinamos os pontos X e Y, respectivamente,m de intersecção entre as rectas a e d e um dos planos da base, definindo a recta i

- a recta de perfil i, em rebatimento, permitir-nos-á desenhar as tangentes t' e t", a partir do qual poderemos entender quais as faces do prisma que estão iluminadas e em sombra e, a partir daqui, intuir a separatriz e, consequentemente, o contorno da sombra projectada pelo prisma.

A recta auxiliar c foi representada a traço interrompido fino não correspondente a qualquer invisibilidade da recta. As invisibilidades do sólido e da sombra projectada foram representadas a traço interrompido expressivo.

 

(a editar) 

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

PRISMA QUADRANGULAR OBLÍQUO DE BASES DE PERFIL

Construa a representação diédrica de um prisma oblíquo de bases de perfil situado no espaço do primeiro diedro, considerando os seguintes dados:

- o prisma tem bases rectangulares

- A (10; 6), B e C são vértices consecutivos da base do prisma situada mais à esquerda

- B e C pertencem, respectivamente ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção

- a aresta [AB] tem 9cm de comprimento

- as arestas laterais do prisma são paralelas ao bissector dos diedros ímpares, fazendo a sua projecção frontal um ângulo de 25º com o eixo x

- o prisma tem 9cm de altura.

Salienta-se a necessidade de utilizar um Método Geométrico Auxiliar para a determinação das projecções das bases do prisma - na proposta de resolução apresentada, o plano de perfil que contém a base [ABCD] foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção.

A recta auxiliar c, de projecções necessariamente equiangulares com o eixo x, foi representada a traço interrompido fino não correspondente a qualquer invisibilidade da recta. As invisibilidades do sólido foram representadas a traço interrompido expressivo.

 

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

SECÇÃO ELÍPTICA PRODUZIDA NUM CILINDRO OBLÍQUO DE BASES FRONTAIS

No Sistema de Projecção Diédrica, determine a secção produzida por um plano secante vertical num cilindro oblíquo de bases circulares situado no espaço do primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

- as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;

- o ponto 0 (3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;

- os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro.

- o plano secante contém o ponto B e intersecta o eixo x num ponto com a mesma abcissa do ponto do cilindro situado à direita.

(Adaptado de um exercício de Exame Nacional de 2006 1ª Fase)

Se o plano secante não for perpendicular às geratrizes do cone ou paralelo às suas bases, a secção produzida terá sempre a configuração de uma elipse ou de um arco de elipse. O plano secante foi incluído neste exercício de modo a nele produzir uma secção elíptica.

Para a determinação dos oito pontos mínimos necessários ao traçado á mão livre da elipse produzida no cilindro, foram utilizados três planos auxiliares niú (a vermelho), pi (a azul claro) e fí (a azul escuro), paralelos às suas bases, que produziram no cilindro secções circunferenciais que permitiram definir, respectivamente, as projecções dos pontos U e V; Q e R; S e T.

Depois de determinada a secção, o tronco de cilindro resultante da mesma, situado entre o plano secante e o Plano Frontal de Projecção, foi desenhado com um traço expressivo:

 

Outra hipótese de resolução seria a seguinte:

(a editar)

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES FRONTAIS

No Sistema de Projecção Diédrica, represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;

o ponto 0 (3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;

os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro


(Exame Nacional de 2006 1ª Fase)

 

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO PASSANTE

No Sistema de Projecção Diédrica, determina a verdadeira grandeza da distância entre um ponto P (12; 8; 4) e o plano passante beta, definido pelos seus traços e pelo ponto A (4; 3; 3).

Observação: o plano beta é o próprio plano bissector dos diedros ímpares, dado que A é um ponto com a cota igual ao afastamento.

Na proposta de resolução a seguir apresentada, recorreu-se ao sistema de representação triédrica, através do qual se determinou uma terceira projecção, lateral, dos elementos considerados. O recurso a este processo é mais intuitivo e simples do que a segunda resolução proposta, porque, sendo o plano passante perpendicular ao Plano Lateral de Projecção e a recta p (que lhe é perpendicular), de perfil, tanto a projecção lateral de ambos, como do respectivo ponto de intersecção e da distância entre este ponto I e o ponto dado, estão em verdadeira grandeza:

 

Nesta outra proposta de resolução, optou-se pela definição de uma recta p, perpendicular ao plano beta (em tudo idêntica à da resolução anterior), e da determinação do ponto I (de intersecção entre p e beta), mediante o rebatimento do plano de perfil que contém a recta p. Para a definição da recta p, foram determinadas as projecções e o rebatimento da recta i, passante de perfil, de intersecção entre o plano passante e o plano de perfil, após o qual foi possível definir a recta p rebatida, perpendicular ao plano beta:

(a editar)

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PRISMA HEXAGONAL DE BASES DE RAMPA

O exercício a seguir apresentado foi adaptado a partir de um dos exames nacionais da disciplina de Desenho e Geometria Descritiva A (código 408).

No enunciado original, era pedida a projecção lateral do prisma, obtida no plano de projecção yz, mas podemos resolvê-lo sem recorrermos a essa projecção auxiliar, como a seguir veremos.

Uma observação:

Contrariamente ao que é habitualmente referido nos exames nacionais de Geometria Descritiva, um prisma recto de bases regulares como o que é pedido neste exercício não é um prisma regular, já que, por definição, existe apenas um único prisma regular, que é o cubo.
Note-se que:
- Poliedros regulares têm faces regulares e arestas e vértices congruentes (o que só acontece nos poliedros Platónicos e nos de Kepler-Poinsot);
- Se um poliedro tiver as arestas e os vértices congruentes, será quasi-regular (só existem dois poliedros  convexos nestas condições, conforme já referi aqui e aqui).
- Se apenas os vértices do poliedro forem congruentes e as faces forem equiláteras, o poliedro será semi-regular.
Assim, o sólido pedido deveria ser designado por prisma recto de bases regulares e não por prisma hexagonal regular.

E o enunciado do exercício é o seguinte:

Exame de 2006 – 1ª fase (código 408):
Construa urna representaçao diédrica de urn prisma hexagonal regular, situado no primeiro diedro, com as bases contidas em planos de rarnpa, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- o ponto 0 (4; 3; 3), pertencente ao plano de rarnpa pí, é o centro de uma das bases;
- o vértice J (4; 4; 9) é o vértice de maior cota da outra base do sólido;
- os planos das bases fazem diedros de 35º com o plano horizontal de projecçâo.

Nesta primeira proposta de resolução, não recorri à terceira projecção para a determinação da verdadeira grandeza das bases do prisma, mas sim ao rebatimento do plano de rampa que contém a base [ABCDEF]:

Pelo facto de a construção do pentágono regular dado por um dos seus lados não ser habitualmente pedida, apresento aqui a sua construção passo a passo, que acompanho da seguinte explanação, caso a não conheça:
1. Dado o lado [AB] do pentágono, determinamos o seu ponto médio, M.
2. Pelo ponto B, desenhamos uma perpendicular a [AB].
3. Com centro em B e abertura até A, desenhamos um arco que, ao intersectar a perpendicular, define o ponto P.
4. Com centro em M e abertura até P, desenhamos um arco de circunferência, definindo o ponto G, ao intersectar a recta que contém [AB] - a distância entre A e G corresponde à medida da diagonal do pentágono.
5. Com centro em A e abertura até G, desenhamos um arco para cima de [AB]
6. Prolongando o arco de centro em B e abertura até A, definimos o vértice C, ao intersectar o arco anterior.
7. Com centro em A e abertura até B, desenhamos um arco de circunferência
8. Com o compasso, transportamos a medida de A até G para o ponto B, definindo H, ao intersectar a recta que contém [AB] e o vértice E, ao intersectar o arco anteriormente desenhado
9. Com centro em E e abertura até A, desenhamos um arco de circunferência; com centro em C e abertura até B desenhamos outro arco, definindo o vértice D.
10. Unindo os vérttices A, B, C, D e E, definimos o pentágono regular pedido.

A partir deste exercício, podemos representar, no Sistema de Projecção Diédrica, uma pirâmide quadrangular regular situada no espaço do primeiro diedro, com 12 cm de altura.

Relembro os dados sobre a base [ABCD] da pirâmide:
- é um quadrado situado no espaço do primeiro diedro, pertencente a um plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com aberura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção

O exercício seguinte pede a representação de um quadrado pertencente a um plano oblíquo em tensão (veja aqui a diferença entre planos oblíquos apoiado e em tensão).
O procedimento relativo ao rebatimento do plano para representação da verdadeira grandeza da figura que lhe é pertencente é, em tudo, semelhante aos casos anteriores.

Constrói a representação diédrica de um quadrado [ABCD], situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano oblíquo alfa, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com abertura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção

Representa, no Sistema de Projecção Diédrica e com um traçado adequado, um Hexágono regular [ABCDEF] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano alfa, sabendo que:
- Os traços horizontal e frontal do plano alfa fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita
- A (8,5; 3)
- o lado [BC] pertence ao Plano Frontal de Projecção

Observação:
Para a representação do hexágono em rebatimento na posição pedida, convém salientar que, se o lado [BC] é frontal (por pertencer ao Plano Frontal de Projecção e ao traço frontal do plano), tanto a diagonal [AD] como o lado [EF] do hexágono pertencerão também a rectas frontais (respectivamente, f e g, na resolução apresentada).
Para facilitar a resolução do exercício, optou-se por rebater o plano oblíquo sobre o Plano Frontal de Projecção, segundo o método das rectas frontais.
Depois de definirmos, em rebatimento, a recta f que conterá a diagonal frontal do hexágono, marcamos, para um lado e para o outro desta recta, metade da medida do ângulo interno do hexágono regular (60º + 60º), o que nos permitirá definir o vértice B do hexágono, ao intersectar o traço frontal do plano:

No Sistema de Projecção Diédrica, representa um prisma pentagonal recto de bases oblíquas, situado no espaço do primeiro diedro, considerando que:
- A base [ABCDE] pertence a um plano alfa, oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares
- O traço frontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- O vértice A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono regular [ABCDE] e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do vértice A
- O prisma tem 9cm de altura

Nesta proposta de resolução, o Plano oblíquo alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção segundo o Método do Triângulo do Rebatimento; enquanto que o plano de topo que contém a recta b (que, por sua vez, contém a aresta lateral [BG]) foi rebatido sobre o Plano Frontal de Projecção, para determinação da verdadeira grandeza da altura do prisma (este último processo está desenhado a vermelho).

A base visível do prisma foi preenchida com uma mancha azul, para melhor compreensão das invibilidades do sólido:

Nos exercícios seguintes, conjugam-se os conteúdos do Sistema Diédrico relativos à perpendicularidade entre um plano e um dos planos bissectores com a representação de pontos, rectas de maior declive ou de maior inclinação e figuras planas pertencentes ao Plano Oblíquo:

1. Representa no Sistema de Projecção Diédrica, com um traçado adequado, um Pentágono regular [ABCDE] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano oblíquo alfa, sabendo que:
- O plano alfa é oblíquo e perpendicular ao bissector os diedros ímpares
- O traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- O ponto A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do ponto A.