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REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS NO SISTEMA DIÉDRICO - CONSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO

Os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.
Cada construção apresenta, na barra inferior, botões que permitem retroceder ou avançar na construção.

As construções desta página estão disponíveis a partir deste capítulo do Livro GeoGebra Descriptive Geometry Applets (step-by-step).

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:
            (FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS NÃO PROJECTANTES)  
           
(FIGURAS CONTIDAS EM PLANOS PROJECTANTES)
hexágono oblíquo   quadrado oblíquo   pentágono passante        
 
TRIÂNGULO ISÓSCELES CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Determine as projeções do triângulo [ABC], isósceles e retãngulo em A (0; 8; 0), sabendo que:
- o plano do triângulo contém P (4; 0; 0);
- B (0; 0; 3) é um dos vértices do triângulo, que se situa no primeiro diedro.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 154 e figura na página 132 do manual "Duas por Três 11".

A construção seguinte apresenta uma via alternativa de resolução:

 

TRIÂNGULO EQUILÁTERO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO

Determine as projeções do triângulo equilátero [ABC] pertencente a um plano perpendicular ao bissetor dos diedros pares, sabendo que:
- os pontos A (0; 8; 0) e O, centro do triângulo, definem um segmento de reta frontal com 5cm de comprimento, que faz um ângulo de 60º de abertura para a direita com o plano horizontal de projeção;
B e C são pontos do primeiro diedro.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 151 e figura na página 129 do manual "Duas por Três 11".

 

A construção seguinte apresenta uma via alternativa de resolução:

 

PENTÁGONO REGULAR CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO 2

Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] de coordenadas positivas, contido num plano pí, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal de pí definem ângulos de 50º e 70º de abertura para a esquerda com o eixo x, que intersetam no ponto de abcissa nula;
- o vértice A tem 6 de afastamento e 8 de cota;
- o ponto O é o centro do pentágono;
- os pontos O e A distam 4,5cm entre si e pertencem a uma reta passante.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 149 e figura na página 126 do manual "Duas por Três 11".

 

HEXÁGONO REGULAR CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO 2

Determine as projecções de um hexágono regular, sabendo que A (0; 0; 7) e D (-2,5; 9; 2) são extremos de uma das suas diagonais maiores e definem uma das rectas de maior inclinação do plano a que o hexágono pertence.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 155 e figura na página 132 do manual "Duas por Três 11".

 

CIRCUNFERÊNCIA CONTIDA NUM PLANO OBLÍQUO

Determine as projeções da circunferência de centro em C (0; 5; 4) e dos seus eixos maior e menor, considerando que:
- os traços do plano que a contém definem, ambos, ângulos de 60º de abertura para a direita com o eixo x;
- a circunferência tem um ponto de cota nula.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 160 e figura na página 138 do manual "Duas por Três 11".

 

HEXÁGONO REGULAR VERTICAL E A CIRCUNFERÊNCIA QUE O CIRCUNSCREVE


Represente, pelas suas projeções, o hexágono regular [ABCDEF] e a circunferência que o circunscreve, sabendo que uma das medianas tem por extremos M (5; 5; 11) e N (5; 5; 1,5) e que a origem das coordenadas é complanar ao hexágono.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 6 da Unidade 3.9 e figura na página 324 do manual "Duas por Três 10".

QUADRADO CONTIDO NUM PLANO DE TOPO

Represente um quadrado [ABCD] de topo, sabendo que os vértices A (2; 2) e C distam 4cm um do outro e definem a diagonal do quadrado que pertence a uma recta passante do bissector dos diedros ímpares. A projecção frontal desta diagonal define um ângulo de 40º com o eixo x, de abertura para a direita

(EM CONSTRUÇÃO)

 

TRIÂNGULO VERTICAL, DADO PELO ORTOCENTRO E A SUA DISTÂNCIA AO PÉ DE UMA DAS ALTURAS

Lamentavelmente, não faz parte do programa de Geometria Descritiva no Ensino Secundário explorar construções de geometria plana tão interessantes quanto as relativas aos vários centros de triângulos ou, por exemplo, à Linha de Euler, mas aqui vai um exemplo muito elementar:

Represente um triângulo [ABC], pertencente a um plano perpendicular ao plano horizontal de projecção, sabendo que:
- o ponto O (0; 4; 8), ortocentro do triângulo, dista 4cm do ponto P, pé da altura do vértice A;
- os pontos O e A pertencem a uma recta passante, cuja projecção horizontal faz um ângulo de 50º com o eixo x, com abertura para a direita;
- os vértices B e C pertencem, respectivamente, aos planos frontal e horizontal de projecção, sendo A o vértice de maior cota do triângulo.

 

PENTÁGONO REGULAR CONTIDO NUM PLANO PASSANTE

Pelo facto de a construção do pentágono regular dado por um dos seus lados não ser habitualmente pedida, apresento aqui a sua construção passo a passo, que acompanho da seguinte explanação:
1. Dado o lado [AB] do pentágono, determinamos o seu ponto médio, M;
2. Pelo ponto B, desenhamos uma perpendicular a [AB];
3. Com centro em B e abertura até A, desenhamos um arco que, ao intersectar a perpendicular, define o ponto P;
4. Com centro em M e abertura até P, desenhamos um arco de circunferência, definindo o ponto G, ao intersectar a recta AB (a distância entre A e G corresponde ao comprimento da diagonal do pentágono);
5. Com centro em A e abertura até G, desenhamos um arco para cima de [AB];
6. Prolongando o arco de centro em B e abertura até A, definimos o vértice C, ao intersectar o arco anterior;
7. Com centro em A e abertura até B, desenhamos um arco de circunferência, a que pertencerá o vértice E;
8. Prolongamos o arco de circunferência de centro em M até definir o ponto H, na intersecção com a recta que contém [AB];
9. Desenhamos um arco de circunferência de centro em B e abertura até H, que ao intersectar o arco de circunferência anterior, define o vértice E;
9. A intersecção dos arcos maiores de centro em A e em B corresponde ao vértice D do pentágono;
10. Unindo os vértices A, B, C, D e E, definimos o pentágono regular pedido.

Embora a construção seguinte apareça já concluída, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar os passos necessários.

Partindo desta construção, podemos adaptá-la para o seguinte exercício:

No sistema de representação diédrica, represente um pentágono regular [ABCDE], pertencente a um plano passante e situado no primeiro diedro, sabendo que:
- B (0; 2; 3);
- o vértice A situa-se à direita de B e pertence ao eixo x;
- o pentágono tem 5cm de lado.

Nesta proposta de resolução, o plano passante foi rebatido sobre o plano horizontal de projecção, segundo o método do triângulo do rebatimento, tendo sido a verdadeira grandeza do lado [AB] definida em rebatimento:

Nesta outra hipótese de resolução, com recurso à projecção triédrica, o plano passante foi rebatido sobre o plano lateral zy, sendo a charneira do rebatimento o seu traço lateral.
Tanto o plano passante como o plano de rampa são planos projectantes em Representação Triédrica, por serem perpendiculares ao plano lateral zy. O traço lateral l beta é o traço absorvente do plano,razão pela qual as projecções laterais de todos os seus elementos lhe pertencem ou com ele coincidem.
O rebatimento do vértice B foi determinado marcando a medida da abcissa de B a partir da charneira do rebatimento. Os traços horizontal e frontal do plano passante (a que deverá pertencer o vértice A) foram definidos, em rebatimento, perpendicularmente à charneira.
As projecções frontais de cada vértice foram determinadas transportando as respectivas abcissas, definidas em rebatimento. A projecção horizontal do vértice D foi definida através da determinação e contra-rebatimento do traço lateral da recta c que contém o lado [CD] (o traço lateral de uma recta corresponde, neste Sistema de Projecção, ao ponto de intersecção entre a recta e o plano zy).

(EM CONSTRUÇÃO)

QUADRADO CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO EM TENSÃO

O exercício seguinte pede-nos a representação de um quadrado pertencente a um plano oblíquo em tensão (veja aqui a diferença entre planos oblíquos apoiado e em tensão). O procedimento relativo ao rebatimento do plano para representação da verdadeira grandeza da figura que lhe é pertencente é, em tudo, semelhante aos casos anteriores.

Determine as projecções de um quadrado [ABCD], situado no primeiro diedro e pertencente a um plano oblíquo alfa, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal de alfa definem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com abertura para a esquerda);
- o vértice A tem 3 de cota e pertence ao plano frontal de projecção;
- o vértice B tem 4,5 de afastamento e pertence ao plano horizontal de projecção.

(EM CONSTRUÇÃO)

HEXÁGONO REGULAR CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO 1

Determine as projecções de um hexágono regular [ABCDEF] situado no primeiro diedro e pertencente ao plano alfa, sabendo que:
- Os traços horizontal e frontal de alfa definem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita;
- A (0; 8,5; 3);
- o lado [BC] pertence ao plano frontal de projecção.

Observação:
Para a representação do hexágono em rebatimento na posição pedida, convém salientar que, se o lado [BC] é frontal (por pertencer ao plano frontal de projecção e ao traço frontal do plano), tanto a diagonal [AD] como o lado [EF] do hexágono pertencerão também a rectas frontais (respectivamente, f e g, na resolução apresentada).
Para facilitar a resolução do exercício, optou-se por rebater o plano oblíquo sobre o plano frontal de projecção, segundo o método das rectas frontais.
Depois de definirmos, em rebatimento, a recta f que conterá a diagonal frontal do hexágono, marcamos, para um lado e para o outro desta recta, metade da medida do ângulo interno do hexágono regular (60º + 60º), o que nos permitirá definir o vértice B do hexágono, ao intersectar o traço frontal do plano:

(EM CONSTRUÇÃO)

PENTÁGONO REGULAR CONTIDO NUM PLANO OBLÍQUO 1

Determine as projecções de um pentágono regular [ABCDE] situado no primeiro diedro e pertencente ao plano oblíquo alfa, sabendo que:
- O plano alfa é oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares;
- O traço horizontal do plano alfa define um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x;
- O ponto A tem 6 de cota e pertence tanto ao plano frontal de projecção como ao plano de referência das abcissas;
- O vértice A e o ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono, pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano;
- O ponto O dista 4,5 cm do ponto A.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

 

 

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