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Observação: os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.
As resoluções dos exercícios seguintes foram executadas com o programa C.a.R., mediante o qual se apresentam animações com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM TRIÂNGULO VERTICAL, DADO PELO ORTOCENTRO E A SUA DISTÂNCIA AO PÉ DE UMA DAS ALTURAS
Lamentavelmente, não faz parte do programa de Geometria Descritiva no Ensino Secundário explorar construções de geometria plana tão interessantes quanto as relativas aos vários centros de triângulos ou, por exemplo, à Linha de Euler, mas aqui vai uma primeira, embora muito elementar, tentativa:
No Sistema Diédrico, representa um triângulo [ABC], pertencente a um plano perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção, sabendo que:
- o ponto O (4; 8), ortocentro do triângulo, dista 4cm do ponto P, pé da altura do vértice A
- a altura do vértice A pertence a uma recta passante, cuja projecção horizontal faz um ângulo de 50º com o eixo x, com abertura para a direita
- os vértices B e C pertencem, respectivamente, aos planos frontal e horizontal de projecção, sendo A o vértice de maior cota do triângulo.
Esta construção foi realizada com o Geogebra 4.0 Beta Release e permite ver a sequência de passos de construção, através dos comandos da barra inferior.
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PENTÁGONO REGULAR PERTENCENTE A UM PLANO PASSANTE
Pelo facto de a construção do pentágono regular dado por um dos seus lados não ser habitualmente pedida, apresento aqui a sua construção passo a passo, que acompanho da seguinte explanação, caso a não conheça:
1. Dado o lado [AB] do pentágono, determinamos o seu ponto médio, M.
2. Pelo ponto B, desenhamos uma perpendicular a [AB].
3. Com centro em B e abertura até A, desenhamos um arco que, ao intersectar a perpendicular, define o ponto P.
4. Com centro em M e abertura até P, desenhamos um arco de circunferência, definindo o ponto G, ao intersectar a recta que contém [AB] - a distância entre A e G corresponde à medida da diagonal do pentágono.
5. Com centro em A e abertura até G, desenhamos um arco para cima de [AB]
6. Prolongando o arco de centro em B e abertura até A, definimos o vértice C, ao intersectar o arco anterior.
7. Com centro em A e abertura até B, desenhamos um arco de circunferência
8. Com o compasso, transportamos a medida de A até G para o ponto B, definindo H, ao intersectar a recta que contém [AB] e o vértice E, ao intersectar o arco anteriormente desenhado
9. Com centro em E e abertura até A, desenhamos um arco de circunferência; com centro em C e abertura até B desenhamos outro arco, definindo o vértice D.
10. Unindo os vérttices A, B, C, D e E, definimos o pentágono regular pedido.
Partindo desta construção, podemos adaptá-la para o seguinte exercício:
No Sistema de Projecção Diédrica, representa um pentágono regular [ABCDE], pertencente a um plano passante e situado no espaço do primeiro diedro, sabendo que:
- B (2; 3)
- o vértice A situa-se à direita de B e pertence ao eixo x
- o pentágono tem 5cm de lado
Nesta proposta de resolução, o plano passante foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção, segundo o Método do triângulo do Rebatimento, tendo sido a verdadeira grandeza da medida do lado [AB] marcada em rebatimento:
Nesta outra hipótese de resolução, com recurso à projecção triédrica, o plano passante foi rebatido sobre o plano lateral zy, sendo a charneira do rebatimento o seu traço lateral.
Tanto o plano passante como o plano de rampa são planos projectantes em Representação Triédrica, por serem perpendiculares ao plano lateral zy. O traço lateral l beta é o traço absorvente do plano,razão pela qual as projecções laterais de todos os seus elementos lhe pertencem ou com ele coincidem.
O rebatimento do vértice B foi determinado marcando a medida da abcissa de B a partir da charneira do rebatimento. Os traços horizontal e frontal do plano passante (a que deverá pertencer o vértice A) foram definidos, em rebatimento, perpendicularmente à charneira.
As projecções frontais de cada vértice foram determinadas transportando as respectivas abcissas, definidas em rebatimento. A projecção horizontal do vértice D foi definida através da determinação e contra-rebatimento do traço lateral da recta c que contém o lado [CD] (o traço lateral de uma recta corresponde, neste Sistema de Projecção, ao ponto de intersecção entre a recta e o plano zy).
A resolução destes exercícios foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM QUADRADO PERTENCENTE A UM PLANO OBLÍQUO EM TENSÃO
O exercício seguinte pede a representação de um quadrado pertencente a um plano oblíquo em tensão (veja aqui a diferença entre planos oblíquos apoiado e em tensão).
O procedimento relativo ao rebatimento do plano para representação da verdadeira grandeza da figura que lhe é pertencente é, em tudo, semelhante aos casos anteriores.
Constrói a representação diédrica de um quadrado [ABCD], situado no espaço do primeiro diedro e pertencente a um plano oblíquo alfa, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com abertura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM HEXÁGONO REGULAR PERTENCENTE A UM PLANO OBLÍQUO
Representa, no Sistema de Projecção Diédrica e com um traçado adequado, um Hexágono regular [ABCDEF] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano alfa, sabendo que:
- Os traços horizontal e frontal do plano alfa fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º e 45º, ambos com abertura para a direita
- A (8,5; 3)
- o lado [BC] pertence ao Plano Frontal de Projecção
Observação:
Para a representação do hexágono em rebatimento na posição pedida, convém salientar que, se o lado [BC] é frontal (por pertencer ao Plano Frontal de Projecção e ao traço frontal do plano), tanto a diagonal [AD] como o lado [EF] do hexágono pertencerão também a rectas frontais (respectivamente, f e g, na resolução apresentada).
Para facilitar a resolução do exercício, optou-se por rebater o plano oblíquo sobre o Plano Frontal de Projecção, segundo o método das rectas frontais.
Depois de definirmos, em rebatimento, a recta f que conterá a diagonal frontal do hexágono, marcamos, para um lado e para o outro desta recta, metade da medida do ângulo interno do hexágono regular (60º + 60º), o que nos permitirá definir o vértice B do hexágono, ao intersectar o traço frontal do plano:
A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PENTÁGONO REGULAR OBLÍQUO
Nos exercícios seguintes, conjugam-se os conteúdos do Sistema Diédrico relativos à perpendicularidade entre um plano e um dos planos bissectores com a representação de pontos, rectas de maior declive ou de maior inclinação e figuras planas pertencentes ao Plano Oblíquo:
1. Representa no Sistema de Projecção Diédrica, com um traçado adequado, um Pentágono regular [ABCDE] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano oblíquo alfa, sabendo que:
- O plano alfa é oblíquo e perpendicular ao bissector os diedros ímpares
- O traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.e.) com o eixo x
- O ponto A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do ponto A.
Note-se que o plano oblíquo foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção segundo o Método do Triângulo do Rebatimento. A determinação das projecções dos vértices do pentágono foi executada mediante o contra-rebatimento das rectas frontais f e g que contêm, respectivamente, a diagonal [BE] e o lado [CD]. Não foram atribuídas notações ao traço horizontal das rectas f e g para não sobrecarregar desnecessariamente o exercício.
Um outro exemplo de exercício, adaptado a partir do anterior:
2. Representa, com um traçado adequado, as projecções de um Pentágono regular [ABCDE] situado no espaço do primeiro diedro e pertencente ao plano oblíquo beta, sabendo que:
- O plano beta é oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares
- O traço horizontal do plano beta faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- O ponto A tem 6cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono e o vértice A pertencem à recta d, que é uma das rectas de maior declive do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do vértice A
Estes dois exercícios foram por mim concebidos de modo a que o lado oposto ao vértice A e a diagonal do pentágono que lhe é paralela pertençam, no exercício 1, a rectas frontais do plano e no exercício 2, a rectas horizontais do plano, o que permite testar facilmente (entre outros aspectos), o rigor da execução de traçados do/a aluno/a.
A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.
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