problemas métrcios no sistema diédrico - exercícios resolvidos passo-a-passo

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO

Outro exercício envolvendo Distâncias, que também fez parte de um dos meus testes do ano lectivo de 2009/2010, resolvido sequencialmente.

O enunciado é o seguinte:

Determina, graficamente, a verdadeira grandeza da distância d, entre o ponto A e o plano alfa, sabendo que:

- A (5; 7,5; 7,5)

- o plano alfa, perpendicular ao bissector dos diedros pares, contém a origem das coordenadas e o ponto B (-5; 0; -7,5)

Na proposta de resolução seguinte, resolvida no Sistema de projecção Diédrica, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os pontos A e B, devemos definir os traços do plano alfa, que sabemos serem coincidentes (dada a posição do plano em relação ao bissector dos diedros pares); unindo B2 com a origem das coordenadas, definimos o traço frontal do plano, coincidente com o seu traço horizontal.

2. Para determinação da distância procurada, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta p, perpendicular ao plano oblíquo, que terá as suas projecções frontal e horizontal respectivamente perpendiculares aos traços homónimos do plano.

3. A seguir, determinaremos o ponto I de intersecção entre esta recta p e o plano alfa, para o qual necessitaremos de recorrer ao Método Geral de Intersecção de uma recta com um plano - contendo a recta p, desenhamos um plano auxiliar projectante (neste caso, de topo), que intersectará o plano alfa segundo a recta oblíqua i, definida pelos seus traços frontal e horizontal (determinados pela intersecção entre os traços homónimos dos planos alfa e beta)

4. A distância pedida corresponde à verdadeira grandeza do segmento de recta [AI], que aqui foi determinada com recurso ao rebatimento do plano beta sobre o Plano Horizontal de Projecção.

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RECTA

o exercício seguinte fez parte de um teste sobre Distâncias que fiz aos meus alunos durante o ano lectivo de 2009/2010 e está aqui resolvido sequencialmente.

O enunciado é o seguinte:

Determina, graficamente, a verdadeira grandeza da distância d, entre o ponto A e a recta r, sabendo que:

- A (-5; 5; 5)

- A recta r é definida pela origem das coordenadas e pelo ponto C (5; -5; 5).

Na primeira proposta de resolução apresentada a seguir, resolvida no Sistema de projecção Diédrica, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, devemos definir, pelo ponto A, um plano perpendicular à recta dada.

2. O facto de esta ser passante do bissector dos diedros pares determina que o plano a definir será oblíquo e perpendicular a esse plano bissector, tendo, portanto, os traços frontal e horizontal coincidentes e oblíquos ao eixo x. Antes de os definirmos, porém, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal ou frontal de direcção perpendicular à recta dada (na solução apresentada, optou-se por definir a recta frontal f).

3. Determinando o traço desta última recta no Plano de Projecção que ela intersecta, podemos desenhar os traços frontal e horizontal do plano, respectivamente perpendiculares às projecções homónimas da recta dada. Note-se que, pela posição da recta, os traços do plano alfa serão, como antes se disse, necessariamente coincidentes.

4. A seguir, determinamos o ponto I, de intersecção entre a recta dada e este plano - sendo este um plano não-projectante, devemos recorrer ao Método Geral de Intersecção de uma recta com um plano, utilizando um plano auxiliar que contenha a recta r (neste caso, optou-se pelo plano de topo beta)

5. Determinamos os traços frontal e horizontal da recta i, de intersecção entre os planos alfa e beta, após o qual definimos as suas projecções.

6. O ponto em que as rectas r e i se intersectam corresponde ao ponto I, de intersecção entre o plano alfa e a recta r.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza do segmento de recta que une os pontos A e I - nesta resolução, esta foi determinada com recurso à Mudança do Plano Horizontal de Projecção (para o qual se desenhou um novo eixo x, paralelo à projecção frontal de [AI] e a partir do qual se definiram as novas projecções horizontais dos pontos A e I, marcando a medida dos respectivos afastamentos).

8. A distância determinada foi representada a traço expressivo e identificada com as notações d1 e d2 e d' (em verdadeira grandeza)

A proposta de resolução seguinte, também resolvida no Sistema Diédrico, foi executada mediante o seguinte processo:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, devemos determinar os traços do plano (beta) que contém a recta r e o ponto A. Para tal, podemos desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal a, que será concorrente com a recta r no ponto C (note-se que a1 coincidirá com r1).

2. Determinamos o traço frontal da recta a.

3. Unindo-o ao traço frontal da recta r (situado na origem das coordenadas), definiremos o traço frontal do plano beta, que será perpendicular ao eixo x, visto que o plano beta é um plano vertical (como aliás, já poderíamos ter concluído, pelo facto de a projecção horizontal das rectas a e r serem coincidentes).

4. Rebatendo este plano sobre o Plano Frontal de Projecção, definiremos o rebatimento dos pontos A e C.

5. Unindo C rebatido à origem das coordenadas (aonde se situam os traços da recta r em rebatimento), definiremos a recta r rebatida.

6. Em rebatimento, e a partir de A, podemos desenhar uma recta p, perpendicular à recta r e que a intersectará no ponto I.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza de [AI], representada com traço expressivo de cor azul e a que foi atribuída a notação dr.

8. Contra-rebatendo o ponto I, definimos as suas projecções frontal e horizontal, que serão coincidentes, porque I pertence ao bissector dos diedros pares (o traçado da perpendicular ao eixo x e do o arco de circunferência seria desnecessário, razão pela qual está representado a traço interrompido, embora não corresponda, evidentemente, a qualquer invisibilidade)

9. A distância determinada foi representada a traço expressivo e identificada com as notações d1 e d2.

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO PASSANTE

No Sistema de Projecção Diédrica, determina a verdadeira grandeza da distância entre um ponto P (12; 8; 4) e o plano passante beta, definido pelos seus traços e pelo ponto A (4; 3; 3).

Observação: o plano beta é o próprio plano bissector dos diedros ímpares, dado que A é um ponto com a cota igual ao afastamento.

Na proposta de resolução a seguir apresentada, recorreu-se ao sistema de representação triédrica, através do qual se determinou uma terceira projecção, lateral, dos elementos considerados. O recurso a este processo é mais intuitivo e simples do que a segunda resolução proposta, porque, sendo o plano passante perpendicular ao Plano Lateral de Projecção e a recta p (que lhe é perpendicular), de perfil, tanto a projecção lateral de ambos, como do respectivo ponto de intersecção e da distância entre este ponto I e o ponto dado, estão em verdadeira grandeza:

Nesta outra proposta de resolução, optou-se pela definição de uma recta p, perpendicular ao plano beta (em tudo idêntica à da resolução anterior), e da determinação do ponto I (de intersecção entre p e beta), mediante o rebatimento do plano de perfil que contém a recta p. Para a definição da recta p, foram determinadas as projecções e o rebatimento da recta i, passante de perfil, de intersecção entre o plano passante e o plano de perfil, após o qual foi possível definir a recta p rebatida, perpendicular ao plano beta:

(a editar)

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.