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PROBLEMAS MÉTRICOS NO SISTEMA DIÉDRICO - CONSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO:

Os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.
Cada construção apresenta, na barra inferior, botões que permitem retroceder ou avançar na construção.

As construções desta página estão disponíveis a partir deste capítulo e deste capítulo do Livro GeoGebra Descriptive Geometry Applets (step-by-step).

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:
              DISTÂNCIAS (PROBLEMAS INVERSOS)
              DISTÂNCIAS (PROBLEMAS DIRECTOS)
                DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RECTA
                DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS
                ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS
distãncia de um ponto a um plano   distãncia de um ponto a uma recta               EXERCÍCIOS RESOLVIDOS COM O COMPASS AND RULER
 
Nos problemas directos de distâncias, é pedida a determinação da distância entre dois elementos e/ou figuras. Neste tipo de problema, a resolução culmina na determinação da distância entre dois pontos dados ou determinados. Nos problemas inversos de distâncias, é dado um ponto e pedido um segundo a uma determinada distância do primeiro. Nesta página apresentamos problemas destes dois tipos.
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA DIRECTO E INVERSO 3)

Considere o plano definido pela reta frontal f e pelo ponto A (0; -3; 6), sabendo que a reta f contém o ponto B (8; 5; 3) e o seu traço no bissetor dos diedros pares tem abcissa nula.
a) Determine a distância de B ao ponto do eixo x do plano.
b) Determine ainda as projeções do segmento de reta que tem B e C por extremos, sabendo que C é um ponto do plano frontal de projeção, que dista 11cm de B e se situa à sua esquerda.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 10 e figura na página 22 do manual "Duas por Três 11".

  

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA INVERSO 2)

Determine as projeções dos segmentos de reta [AC] e [CB], sabendo que:
- os pontos A (4,5; 2; 4), B (-3; 4; 1) e D (0; -4; 4) pertencem ao plano que contém o ponto C, de abcissa positiva;
- AC = BC = 6cm.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 04 e figura na página 10 do manual "Duas por Três 11".

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA INVERSO 1)

Determine as projeções dos segmentos de reta [MN] e [MO], sabendo que:
- P (9; 2; 7) pertence ao plano que os contém;
- o ponto M dista 8cm de N (5; 9; 2) e de O (0; 5; 8) e situa-se à esquerda de ambos.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 03 e figura na página 10 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA DIRECTO 3)

Determine graficamente a verdadeira grandeza de [HI]:
- [HI] está contido numa reta de perfil p, que é definda pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota;
- H é o traço horizontal da reta p;
- I é o ponto de interseção da reta p com o plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, respetivamente, ângulos de 45º e 60º (ambos com abertura para a direita), intersetando-o num ponto com 5 de abcissa.
(Exame nacional de 2004, 1ª Fase)

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 81 e figura na página 66 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA DIRECTO 2)

Determine a distância entre os pontos A e B, sabendo que:
- A é o traço da reta r no bissetor dos diedros ímpares, enquanto que B é o ponto de cota nula da reta s;
- a reta r é definida pelos pontos M (0; 3; 7) e N (-6; -2; 5);
- a reta s, frontal, é concorrente com a reta r e o seu traço no bissetor dos diedros pares tem abcissa nula e 7 de afastamento.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 80 e figura na página 66 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (PROBLEMA DIRECTO 1)

Determine a distância entre os pontos M e N, sabendo que:
- M é o traço da reta a no bissetor dos diedros pares;
- a reta a é definida por R (0; 4; 0) e S (-10; 4; 8);
- N é o traço da reta b no bissetor dos diedros ímpares;
- a reta b, horizontal, contém T (-3; 10; 6) e é concorrente com a reta a.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 79 e figura na página 66 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 1 (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância de P (8; 3,5; 10) é reta s, definida por A (2; 11; 11) e B (2; 7; 5).

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 91 e figura na página 73 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA 2 (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância de P (2; 2; 3,5) à reta p definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2).
(Exame nacional de 2006, 2ª Fase)

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 92 e figura na página 73 do manual "Duas por Três 11".

 

A aplicação seguinte apresentou uma via alternativa de resolução do mesmo problema.

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS 1 (PROBLEMA DIRECTO)

Determine graficamente a distância entre os planos paralelos alfa e beta.
- o plano alfa contém uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projecção no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projecção horizontal faz um ângulo de 60º (de abertura a direita) com o eixo x;
- o plano beta contém uma recta obliqua b, cujos traços nos planos de projecção são os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).
Exame nacional de 2004, 2ª fase

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 100 e figura na página 81 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS 2 (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância entre os planos paralelos delta e pí, sabendo que:
- o plano delta é definido pelos pontos M (10; 10; 10), N (-3; -9; -2) e O (-3; 6; 2);
- o plano pí contém o ponto P (5; 0; 0).

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 99 e figura na página 81 do manual "Duas por Três 11".

 

ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 1

Determine a amplitude do ângulo entre dois planos alfa e beta, sabendo que:
- o plano alfa é definido por uma reta h e pelo seu traço frontal;
- o traço frontal do plano alfa define, com o eixo x, um ângulo de 45º (a.p.e.);
- a reta h é horizontal e define um ângulo de 60º (a.p.e.) com o plano frontal de projecção;
- o traço frontal da reta h tem -3 de abcissa e 3,5 de cota;
- o plano beta é definido pelo seu traço frontal, que define um ãngulo de 60º (a.p.e.) com o eixo x e pelos pontos A (3; 0; 5) e B (3; 8; 0).

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 129 e figura na página 118 do manual "Duas por Três 11".

 

ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS 2

Determine a amplitude do ângulo entre dois planos sigma e gama, sabendo que:
- o plano sigma é de rampa, tendo os seus traços horizontal e frontal, respectivamente, 6 de afastamento e 5,5 de cota
- o plano gama é vertical e define um diedro de 45º de abertura para a esquerda com o plano frontal de projecção.

Embora o exercício apareça já concluído, a aplicação apresenta uma barra inferior através da qual se pode retroceder ou avançar na resolução do exercício.

Este exercício tem o número 130 e figura na página 119 do manual "Duas por Três 11".

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância entre A (5; 7,5; 7,5) e o plano alfa, sabendo que o plano alfa, perpendicular ao bissector dos diedros pares, contém a origem das coordenadas e o ponto B (-5; 0; -7,5)

Na proposta de resolução seguinte, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os pontos A e B, devemos definir os traços do plano alfa, que sabemos serem coincidentes (dada a posição do plano em relação ao bissector dos diedros pares): unindo a projecção frontal de B com a origem das coordenadas, definimos o traço frontal do plano, coincidente com o seu traço horizontal.

2. Para a determinação da distância procurada, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta p, perpendicular ao plano oblíquo, que terá as suas projecções frontal e horizontal respectivamente perpendiculares aos traços homónimos do plano.

3. A seguir, determinaremos o ponto I de intersecção entre esta recta p e o plano alfa, para o qual poderemos recorrer ao método geral de intersecção de uma recta com um plano - contendo a recta p, desenhamos um plano auxiliar projectante (neste caso, de topo), que intersectará o plano alfa segundo a recta oblíqua i, definida pelos seus traços frontal e horizontal (determinados, por sua vez, na intersecção dos traços homónimos dos planos alfa e beta)

4. A distância pedida corresponde à verdadeira grandeza do segmento de recta [AI], que aqui foi determinada com recurso ao rebatimento do plano beta sobre o plano horizontal de projecção.

(EM CONSTRUÇÃO)

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RECTA (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância entre A (-5; 5; 5) e a recta r, sabendo que a recta r é definida pela origem das coordenadas e pelo ponto C (5; -5; 5).

Na primeira proposta de resolução apresentada a seguir, foram seguidos os seguintes passos:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, representamos, de modo a conter o ponto A, um plano perpendicular à recta dada.

2. O facto de esta ser passante do bissector dos diedros pares determina que o plano a definir será oblíquo e perpendicular a esse plano bissector, tendo, portanto, os traços frontal e horizontal coincidentes e oblíquos ao eixo x. Antes de os definirmos, porém, há que desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal ou frontal de direcção ortogonal à recta dada (na solução apresentada, optamos pela recta frontal f).

3. Determinando o traço desta última recta no plano de projecção que ela intersecta, podemos desenhar os traços frontal e horizontal do plano, respectivamente perpendiculares às projecções homónimas da recta dada.

4. A seguir, determinamos o ponto I, de intersecção entre a recta dada e este plano - sendo este um plano não-projectante, recorreremos ao método geral de Intersecção de uma recta com um plano, utilizando um plano auxiliar que contenha a recta r (neste caso, optou-se pelo plano de topo beta)

5. Determinamos os traços frontal e horizontal da recta i, de intersecção entre os planos alfa e beta, após o qual definimos as suas projecções.

6. O ponto em que as rectas r e i se intersectam corresponde ao ponto I, de intersecção entre o plano alfa e a recta r.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza do segmento de recta que une os pontos A e I - nesta resolução, esta foi determinada com recurso à mudança do plano horizontal de projecção (para o qual se desenhou um novo eixo x, paralelo à projecção frontal de [AI] e a partir do qual se definiram as novas projecções horizontais dos pontos A e I, marcando a medida dos respectivos afastamentos).

(EM CONSTRUÇÃO) 

 

A proposta de resolução seguinte foi executada mediante o seguinte processo:

1. Depois de desenharmos os dados do exercício, devemos determinar os traços do plano (beta) que contém a recta r e o ponto A. Para tal, podemos desenhar, pelo ponto A, uma recta horizontal a, que será concorrente com a recta r no ponto C (note-se que a1 coincidirá com r1).

2. Determinamos o traço frontal da recta a.

3. Unindo-o ao traço frontal da recta r (situado na origem das coordenadas), definiremos o traço frontal do plano beta, que será perpendicular ao eixo x, visto que o plano beta é um plano vertical (como aliás, já poderíamos ter concluído, pelo facto de a projecção horizontal das rectas a e r serem coincidentes).

4. Rebatendo este plano sobre o plano frontal de projecção, determinaremos os pontos A e C rebatidos.

5. Unindo C rebatido à origem das coordenadas (aonde se situam os traços da recta r em rebatimento), definiremos a recta r rebatida.

6. Em rebatimento, e a partir de A, podemos desenhar uma recta p, perpendicular à recta r e que a intersectará no ponto I.

7. A distância procurada corresponderá à verdadeira grandeza de [AI].

8. Contra-rebatendo o ponto I, definimos as suas projecções frontal e horizontal, que serão coincidentes, porque I pertence ao bissector dos diedros pares (o traçado da perpendicular ao eixo x e do o arco de circunferência seria desnecessário, razão pela qual está representado a traço interrompido, embora não corresponda, evidentemente, a qualquer invisibilidade)

(EM CONSTRUÇÃO)  

 

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO PASSANTE (PROBLEMA DIRECTO)

Determine a distância entre P (12; 8; 4) e o plano passante beta, definido pelos seus traços e pelo ponto A (4; 3; 3).

Observação: o plano beta coincide com o bissector dos diedros ímpares, dado que A é um ponto com a cota igual ao afastamento.

Na proposta de resolução a seguir apresentada, recorreu-se ao sistema de representação triédrica, através do qual se determinou uma terceira projecção, lateral, dos elementos considerados. Sendo o plano passante perpendicular ao plano lateral de projecção e a recta p (que lhe é perpendicular), de perfil, o segmento de recta que corresponde à distância pedida projecta-se lateralmente em verdadeira grandeza:

(EM CONSTRUÇÃO) 

 

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