sistema diédrico - exercícios

pontos e rectas pontos, rectas e planos intersecções m. geométricos auxiliares (em construção) paralelismo (em construção) perpendicularidade (em construção) distâncias ângulos figuras planas sólidos secções produzidas em sólidos sombras de sólidos

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manual de geometria descritiva

gd no ensino secundário

 

PRISMA QUADRANGULAR OBLÍQUO DE BASES DE PERFIL

Construa a representação diédrica de um prisma oblíquo de bases de perfil situado no espaço do primeiro diedro, considerando os seguintes dados:

- o prisma tem bases rectangulares

- A (10; 6), B e C são vértices consecutivos da base do prisma situada mais à esquerda

- B e C pertencem, respectivamente ao Plano Horizontal de Projecção e ao Plano Frontal de Projecção

- a aresta [AB] tem 9cm de comprimento

- as arestas laterais do prisma são paralelas ao bissector dos diedros ímpares, fazendo a sua projecção frontal um ângulo de 25º com o eixo x

- o prisma tem 9cm de altura.

Salienta-se a necessidade de utilizar um Método Geométrico Auxiliar para a determinação das projecções das bases do prisma - na proposta de resolução apresentada, o plano de perfil que contém a base [ABCD] foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção.

A recta auxiliar c, de projecções necessariamente equiangulares com o eixo x, foi representada a traço interrompido fino não correspondente a qualquer invisibilidade da recta. As invisibilidades do sólido foram representadas a traço interrompido expressivo.

 

A resolução deste exercício foi executada com o programa C.a.R., mediante o qual se apresenta uma animação com os passos seguidos. Os botões da barra inferior do desenho fazem avançar ou retroceder a sequência dos passos pré-definidos. Para voltar à animação inicial, clique sobre a construção, faça um refresh da página ou saia e volte a entrar. Pode fazer zoom sobre a imagem, utizando a roda do rato.

 

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES FRONTAIS

No Sistema de Projecção Diédrica, represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;

o ponto 0 (3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;

os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro


(Exame Nacional de 2006 1ª Fase)

 

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PRISMA HEXAGONAL DE BASES DE RAMPA

O exercício a seguir apresentado foi adaptado a partir de um dos exames nacionais da disciplina de Desenho e Geometria Descritiva A (código 408).

No enunciado original, era pedida a projecção lateral do prisma, obtida no plano de projecção yz, mas podemos resolvê-lo sem recorrermos a essa projecção auxiliar, como a seguir veremos.

Uma observação:

Contrariamente ao que é habitualmente referido nos exames nacionais de Geometria Descritiva, um prisma recto de bases regulares como o que é pedido neste exercício não é um prisma regular, já que, por definição, existe apenas um único prisma regular, que é o cubo.
Note-se que:
- Poliedros regulares têm faces regulares e arestas e vértices congruentes (o que só acontece nos poliedros Platónicos e nos de Kepler-Poinsot);
- Se um poliedro tiver as arestas e os vértices congruentes, será quasi-regular (só existem dois poliedros  convexos nestas condições, conforme já referi aqui e aqui).
- Se apenas os vértices do poliedro forem congruentes e as faces forem equiláteras, o poliedro será semi-regular.
Assim, o sólido pedido deveria ser designado por prisma recto de bases regulares e não por prisma hexagonal regular.

E o enunciado do exercício é o seguinte:

Exame de 2006 – 1ª fase (código 408):
Construa urna representaçao diédrica de urn prisma hexagonal regular, situado no primeiro diedro, com as bases contidas em planos de rarnpa, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- o ponto 0 (4; 3; 3), pertencente ao plano de rarnpa pí, é o centro de uma das bases;
- o vértice J (4; 4; 9) é o vértice de maior cota da outra base do sólido;
- os planos das bases fazem diedros de 35º com o plano horizontal de projecçâo.

Nesta primeira proposta de resolução, não recorri à terceira projecção para a determinação da verdadeira grandeza das bases do prisma, mas sim ao rebatimento do plano de rampa que contém a base [ABCDEF]:

A partir deste exercício, podemos representar, no Sistema de Projecção Diédrica, uma pirâmide quadrangular regular situada no espaço do primeiro diedro, com 12 cm de altura.

Relembro os dados sobre a base [ABCD] da pirâmide:
- é um quadrado situado no espaço do primeiro diedro, pertencente a um plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal fazem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com aberura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao Plano Horizontal de Projecção

No Sistema de Projecção Diédrica, representa um prisma pentagonal recto de bases oblíquas, situado no espaço do primeiro diedro, considerando que:
- A base [ABCDE] pertence a um plano alfa, oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares
- O traço frontal do plano alfa faz um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- O vértice A tem 6cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono regular [ABCDE] e o vértice A pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do vértice A
- O prisma tem 9cm de altura

Nesta proposta de resolução, o Plano oblíquo alfa foi rebatido sobre o Plano Horizontal de Projecção segundo o Método do Triângulo do Rebatimento; enquanto que o plano de topo que contém a recta b (que, por sua vez, contém a aresta lateral [BG]) foi rebatido sobre o Plano Frontal de Projecção, para determinação da verdadeira grandeza da altura do prisma (este último processo está desenhado a vermelho).

A base visível do prisma foi preenchida com uma mancha azul, para melhor compreensão das invibilidades do sólido: