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REPRESENTAÇÃO DE SÓLIDOS NO SISTEMA DIÉDRICO - CONSTRUÇÕES PASSO-A-PASSO

Os processos de resolução aqui apresentados são exemplos possíveis para a resolução de cada exercício.
Cada construção apresenta, na barra inferior, botões que permitem retroceder ou avançar na construção.

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:
  cilindro oblíquo de bases frontais              
                     
pirâmide de base oblíqua   prisma de bases oblíquas   cubo com uma face passante   prisma hexagonal de bases de rampa prisma oblíquo de bases de perfil      
 
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PRISMA REGULAR DE ARESTAS FRONTAIS

A construção passo-a-passo seguinte exemplifica um dos possíveis processos de resolução para o seguinte exercício:
Determine as projeções de um prisma hexagonal regular de arestas laterais frontais, sabendo que:
- B (4; 3; 2,5) e B', de cota nula, são extremos de uma aresta lateral que faz um ângulo de 35º (a.p.d.) com o plano horizontal de projecção
- a aresta lateral [AA'] tem afastamento nulo.

Este exercício é o de maior grau de dificuldade da unidade "3.9 - Sólidos de base(s) de perfil, vertical(ais) e de perfil", do manual Duas por Três 10 (página 337).

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UMA PIRÂMIDE RECTA DE BASE HEXAGONAL REGULAR

Represente pelas suas projecções uma pirâmide recta de base hexagonal regular, sabendo que:

- O (0; 7; 0) é um dos extremos do eixo da pirâmide, que é vertical

- M (-3; 4; 0) é o ponto médio da aresta [AB]

- o vértice da pirâmide é um ponto do bissector dos diedros ímpares

(Exercício 1 da página 233 do "Duas por três 10")

 

PRISMA QUADRANGULAR OBLÍQUO DE BASES DE PERFIL

Construa a representação diédrica de um prisma oblíquo de bases de perfil situado no primeiro diedro, considerando os seguintes dados:

- o prisma tem bases rectangulares

- A (10; 6), B e C são vértices consecutivos da base do prisma situada mais à esquerda

- B e C pertencem, respectivamente ao plano horizontal de projecção e ao plano frontal de projecção

- a aresta [AB] tem 9cm de comprimento

- as arestas laterais do prisma são paralelas ao bissector dos diedros ímpares, fazendo a sua projecção frontal um ângulo de 25º com o eixo x

- o prisma tem 9cm de altura.

Salienta-se a necessidade de utilizar um método geométrico auxiliar para a determinação das projecções das bases do prisma - na proposta de resolução apresentada, o plano de perfil que contém a base [ABCD] foi rebatido sobre o Plano horizontal de projecção.

A recta auxiliar c, de projecções necessariamente equiangulares com o eixo x, foi representada a traço interrompido fino não correspondente a qualquer invisibilidade da recta. As invisibilidades do sólido foram representadas a traço interrompido expressivo.

(EM CONSTRUÇÃO)

CILINDRO OBLÍQUO DE BASES FRONTAIS (exercício adaptado do exame nacional de 2006, 1ª fase)

Represente um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no primeiro diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da circunferência de uma das bases do sólido.

- as bases do cilindro estão contidas em planos frontais;

- o ponto O (3; 1 ; 5) é o centro de uma das bases;

- os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro

a) Determine o lugar geométrico dos pontos do cilindro com 4cm de afastamento e represente-o a traço médio adequado.

(Construção dinâmica da página 247 do "Duas por três 10")

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PRISMA HEXAGONAL DE BASES DE RAMPA

O exercício a seguir apresentado foi adaptado a partir de um dos exames nacionais da disciplina de Desenho e Geometria Descritiva A (código 408).

No enunciado original, era pedida a projecção lateral do prisma, obtida no plano de projecção yz, mas podemos resolvê-lo sem recorrermos a essa projecção auxiliar, como a seguir veremos.

Uma observação:

Contrariamente ao que é habitualmente referido nos exames nacionais de Geometria Descritiva, um prisma recto de bases regulares como o que é pedido neste exercício não é um prisma regular, já que, por definição, existe apenas um único prisma regular, que é o cubo.
Note-se que:
- Poliedros regulares têm faces regulares e arestas e vértices congruentes (o que só acontece nos poliedros Platónicos e nos de Kepler-Poinsot);
- Se um poliedro tiver as arestas e os vértices congruentes, será quasi-regular (só existem dois poliedros  convexos nestas condições, conforme já referi aqui e aqui).
- Se apenas os vértices do poliedro forem congruentes e as faces forem equiláteras, o poliedro será semi-regular.
Assim, o sólido pedido deveria ser designado por prisma recto de bases regulares e não por prisma hexagonal regular.

E o enunciado do exercício é o seguinte:

Exame de 2006 – 1ª fase (código 408):
Construa urna representaçao diédrica de urn prisma hexagonal regular, situado no primeiro diedro, com as bases contidas em planos de rarnpa, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- o ponto O (4; 3; 3), pertencente ao plano de rarnpa pí, é o centro de uma das bases;
- o vértice J (4; 4; 9) é o vértice de maior cota da outra base do sólido;
- os planos das bases fazem diedros de 35º com o plano horizontal de projecçâo.

Nesta primeira proposta de resolução, não recorri à terceira projecção para a determinação da verdadeira grandeza das bases do prisma, mas sim ao rebatimento do plano de rampa que contém a base [ABCDEF]:

(EM CONSTRUÇÃO)

Nesta outra proposta de resolução, recorri ao sistema de representação triédrica, obtendo uma terceira projecção, lateral, do prisma.
Por ser projectante em relação ao plano zy, o plano de rampa que contém a base [GHIJKL] foi rebatido sobre aquele plano (procedimento semelhante poderia ter sido tomado em relação ao plano que contém a base [ABCDEF]).

 
REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE CUBO COM UMA FACE PERTENCENTE A UM PLANO PASSANTE

Construa a representação diédrica de um cubo, situado no espaço diedro e com uma das faces pertencente a um plano passante, sabendo que:
- A (2; 3) é o vértice de menor cota da face [ABCD];
- a aresta [AB] está contida numa recta a, que define um ângulo de 30º com o eixo x, de abertura para a esquerda;
- o cubo tem 5cm de aresta.
Nesta proposta de resolução, o plano passante beta foi rebatido sobre o plano horizontal de projecção para determinação da verdadeira grandeza da face [ABCD] (e os traçados respectivos desenhados a vermelho); o plano de perfil que contém a aresta lateral [BF] foi rebatido sobre o mesmo plano (os traçados respectivos foram desenhados a verde).

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UMA PIRÂMIDE QUADRANGULAR REGULAR DE BASE OBLÍQUA

A partir deste exercício, podemos representar, no sistema de representação diédrica, uma pirâmide recta de base quadrada situada no primeiro diedro, com 12 cm de altura.

Relembro os dados sobre a base [ABCD] da pirâmide:
- é um quadrado situado no primeiro diedro, pertencente a um plano oblíquo alfa, cujos traços horizontal e frontal definem, com o eixo x, ângulos respectivamente iguais a 60º (com abertura para a direita) e 35º (com aberura para a esquerda)
- o vértice A tem 3cm de cota e pertence ao plano frontal de projecção
- o vértice B tem 4,5cm de afastamento e pertence ao plano horizontal de projecção.

 

REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA DE UM PRISMA PENTAGONAL RECTO DE BASES OBLÍQUAS

No sistema de representação diédrica, represente um prisma pentagonal recto de bases oblíquas, situado no primeiro diedro, considerando que:
- A base [ABCDE] pertence a um plano alfa, oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros ímpares
- O traço frontal do plano alfa define um ângulo de 45º (a.p.d.) com o eixo x
- O vértice A tem 6cm de cota e pertence ao plano frontal de projecção
- O ponto O, centro da circunferência que circunscreve o pentágono regular [ABCDE] e o vértice pertencem à recta i, que é uma das rectas de maior inclinação do plano
- O ponto O dista 4,5 cm do vértice A
- O prisma tem 9cm de altura

Nesta proposta de resolução, o plano oblíquo alfa foi rebatido sobre o plano horizontal de projecção segundo o método do triângulo do rebatimento; enquanto que o plano de topo que contém a recta b (que, por sua vez, contém a aresta lateral [BG]) foi rebatido sobre o plano frontal de projecção, para determinação da verdadeira grandeza da altura do prisma (este último processo está desenhado a vermelho).

A base visível do prisma foi preenchida com uma mancha azul, para melhor compreensão das invibilidades do sólido:

 

Nesta outra proposta de resolução, todos os passos seguidos são semelhantes à resolução anterior, com excepção do rebatimento do plano de topo que contém a recta b, que aqui foi rebatido sobre o plano horizontal de projecção.

 

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