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PREPARAÇÃO PARA O EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A

ESTRUTURA DA PROVA E CONSELHOS PARA OS ALUNOS
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2017 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2016 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2016 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2015 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2014 - ÉPOCA ESPECIAL
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2014 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2014 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2013 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2013 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2012 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2012 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2011 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2011 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2010 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2010 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2009 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2009 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2008 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2008 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2007 - 2ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2007 - 1ª FASE
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2006 - 2ª FASE (EM CONSTRUÇÃO)
EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2006 - 1ª FASE (EM CONSTRUÇÃO)
PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A
PLANIFICAÇÃO ANUAL PARA GEOMETRIA DESCRITIVA A - 10º ano de escolaridade
PLANIFICAÇÃO ANUAL PARA GEOMETRIA DESCRITIVA A - 11º ano de escolaridade
PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA B

SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 10º ANO

SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 11º ANO

CONSELHOS PARA O EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA (Código 708)

Consultando a INFORMAÇÃO-PROVA PUBLICADA PELO INSTITUTO DE AVALIAÇÃO EDUCATIVA sobre o exame de 2016 e o PROGRAMA DA DISCIPLINA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A, podemos concluir que, se a prova atender à tipologia dos anos anteriores, obedecerá à seguinte estrutura:

Exercício 1 (um ou mais dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):

- Pontos pertencentes ao plano;
- Rectas pertencentes ao plano;
- Traços do plano;
- Intersecção entre planos;
- Intersecção entre uma recta e um plano;
- Paralelismo;
- Perpendicularidade.

Observação: para este exercício, aconselha-se o (re)estudo de toda a matéria do ano de escolaridade anterior, incluindo os capítulos da Representação dos Traços de um Plano, de Pontos e Rectas Pertencentes ao Plano (incluindo as de Maior Declive e de Maior Inclinação), Intersecção de Planos e Intersecção entre de uma Recta com um Plano.

Exercício 2 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):

- Distâncias
- Ângulos
- Representação de figura(s) plana(s) pertencente(s) a um plano (Vertical, de topo, de perfil, oblíquo, passante ou de rampa)

Exercício 3 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):

- Pirâmide ou prisma recto de base(s) regular(es) vertical(ais), de topo, oblíqua(s), de rampa ou passante
- Pirâmide, prisma, cilindro ou cone (recta/o ou oblíqua/o) de base(s) horizontal, frontal ou de perfil e determinação da sua sombra, considerando a direcção luminosa convencional
- Pirâmide, prisma, cilindro ou cone (recto ou oblíquo) de base(s) horizontal, frontal ou de perfil e determinação da secção produzida por um plano secante qualquer
- Cone, cilindro (de base(s) circular(es) horizontal, frontal ou de perfil) ou esfera e determinação da secção produzida por um plano secante projectante
- Pirâmide ou prisma (recto ou oblíquo) de base(s) regulares vertical(ais) ou de topo e determinação da secção produzida por um plano secante horizontal, frontal ou de perfil-
- Pirâmide ou prisma recta/o de base(s) regulares não-projectante(s) e determinação da secção produzida por um plano secante horizontal, frontal ou de perfil

Exercício 4 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Axonométrica):

- Axonometria ortogonal de um sólido simples ou composto por: pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) e/ou prismas (regulares e oblíquos de bases regulares) de base(s) situada num ou paralela(s) a um plano coordenado e com, pelo menos, uma das arestas da base paralela a um eixo;
- Axonometria clinogonal de um sólido simples ou composto por: pirâmides (regulares e oblíquas de base regular), prismas (regulares e oblíquos de bases regulares), cones e/ou cilindros (de revolução e oblíquos de base circular), estando a(s) base(s) do(s) poliedro(s) situada num ou paralela(s) a um plano coordenado e uma das arestas (da base) paralela a um eixo e a(s) base(s) do(s) não-poliedro(s) situada no ou paralela(s) ao plano axonométrico.
(em qualquer um destes casos, este sólido já não é dado em Representação Tríédrica, de acordo com ESTA INFORMAÇÃO DO GAVE).

No final do dia de realização de cada um dos exames, publicarei, nesta página, a minha proposta de resolução.

É aconselhável que o/ aluno/a programe o seu estudo com bastante antecedência, separando os conteúdos a estudar por temas e abordando-os de forma sequencial, insistindo mais naqueles em que tiver mais dificuldades.

Salienta-se - e partindo sempre do princípio de que os pressupostos teóricos que definem esta ciência foram solidamente compreendidos pelo/a aluno/a - que a única forma eficiente de estudar para esta disciplina depreende sempre a prática frequente e regular de exercícios de aplicação (quantos mais melhor, e se possível, de proveniências diferentes - mas privilegiando, sempre, os exercícios de exame nacional ou de grau de dificuldade semelhante) e consultando as soluções de cada um apenas no final, para comparar processos de resolução e raciocínios utilizados. Seja qual for o processo de resolução utilizado, o resultado obtido será sempre o mesmo.

Se consegue, sozinho/a (e sem olhar para as soluções) resolver correctamente todos estes exercícios de exame nacional , todos os exercícios que foram dados durante as aulas e em fichas de trabalho e todos os exercícios dos testes de avaliação, então estará bem preparado para o exame nacional - eu sei que parece demasiado, mas pelo menos os de exame nacional é que não podem falhar - se ainda não começou, convém começar a resolver estes exercícios, todos os dias, e tão cedo quanto possível (e o período das férias da Páscoa é o ideal).

Para além de toda a matéria abordada durante o 11º ano de escolaridade, deve (re)estudar também toda a matéria do ano de escolaridade anterior e resolver (especialmente para o exercício I), os exercícios relativos a Pontos e Rectas Pertencentes a Planos Oblíquos ou de Rampa (sem esquecer de estudar as rectas de maior declive e de maior inclinação e a determinação dos traços do plano, que, obviamente, também são rectas do plano) e ainda os exercícios relativos a Intersecções (de planos e de uma recta com um plano).

Aconselho a resolução dos exames nacionais de códigos:
- 109 (todos os exercícios, excepto o último)
- 409 (todos os exercícios)
- 408 (todos os exercícios, excepto o 1 do Grupo II) e
- 708 (todos os exercícios)
Os enunciados destes exames podem ser consultados a partir desta página ou a partir das páginas de exercícios abaixo referidas:

SISTEMA DIÉDRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PASSO-A-PASSO

SISTEMA DIÉDRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

SISTEMA AXONOMÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PASSO-A-PASSO (em construção)

SISTEMA AXONOMÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Relembro que poderá, eventualmente, esclarecer determinados conteúdos do programa da disciplina a partir das páginas a seguir indicadas, consultáveis a partir da coluna GEOMETRIA DESCRITIVA deste site:

SISTEMA DIÉDRICO EM MOVIMENTO:

PONTOS E RECTAS

PONTOS, RECTAS E PLANOS

INTERSECÇÕES

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES (em construção)

PARALELISMO (em construção)

PERPENDICULARIDADE (em construção)

DISTÂNCIAS

ÂNGULOS

FIGURAS PLANAS

SÓLIDOS

SECÇÕES PRODUZIDAS EM SÓLIDOS

SOMBRAS DE SÓLIDOS (em construção)

SISTEMA AXONOMÉTRICO EM MOVIMENTO:

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS

AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

Entretanto, e se precisar, estarei contactável a partir deste ENDEREÇO DE E-MAIL. Obrigada pela visita. Bom estudo e boa sorte para o Exame!

SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 10º ANO

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 28 de Agosto de 2008 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

 

A seguir, uma listagem dos conteúdos programáticos que deverão ser abordados, obrigatoriamente, durante o décimo ano de escolaridade desta disciplina (ou no 11º, para quem só neste ano de escolaridade a iniciou), sob pena de ser mais difícil conseguir uma conveniente preparação para o exame nacional da disciplina. Salienta-se que, dada a extensão do programa no ano terminal da disciplina, é extremamente difícil conseguir leccionar, nesse ano, e adequadamente, os conteúdos em atraso.

A listagem mais desenvolvida destes conteúdos pode ser consultada AQUI, da qual a seguinte é uma versão simplificada:

1. MÓDULO INICIAL

1.1. O Ponto
1.2. A Recta
1.3. Posição relativa entre duas rectas
1.4. O Plano
1.5. Posição relativa entre rectas e planos
1.6. Perpendicularidade entre rectas e planos
1.7. Superfícies
1.8. Sólidos

2. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA DESCRITIVA

2.1. GEOMETRIA DESCRITIVA
2.1.1. Resenha Histórica
2.1.2. Objecto e finalidade
2.1.3. Noção de Projecção

2.2. TIPOS DE PROJECÇÃO
2.2.1. Projecção central ou cónica
2.2.2. Projecção paralela ou cilíndrica (ortogonal ou clinogonal)

2.3. SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO E SUA CARACTERIZAÇÃO

2.4. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS SISTEMAS DE REPRESENTAÇÃO TRIÉDRICA E DIÉDRICA
2.4.1. Representação Triédrica
2.4.2. Representação Diédrica
2.4.3. Vantagens e inconvenientes de ambos os sistemas de representação

3. REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA

3.1. O PONTO
3.1.1. Localização de um ponto
3.1.2. Projecções do ponto

3.2. O SEGMENTO DE RECTA
3.2.1. Projecções de um segmento de recta
3.2.2. Posição do segmento de recta em relação aos planos de projecção

3.3. A RECTA
3.3.1. Recta definida por dois pontos
3.3.2. Recta definida por um ponto e pela sua direcção
3.3.3. Projecções da recta
3.3.4. Ponto pertencente a uma recta
3.3.5. Traços da recta nos planos de projecção (H e F)
3.3.6. Traços da recta nos planos bissectores (Q e I)
3.3.7. Posição da recta em relação aos planos de projecção
a) Horizontal
b) Frontal
c) Fronto-horizontal
d) De topo
e) Vertical
f) De perfil
g) Passante
h) Passante de perfil
i) Oblíqua)
3.3.8. Posição relativa de duas rectas
a) Paralelas
b) Coincidentes
c) Concorrentes
d)Enviesadas ou não-complanares

3.4. FIGURAS PLANAS I
3.4.1. Polígonos e círculos horizontais
3.4.2. Polígonos e círculos frontais
3.4.3. Polígonos e círculos de perfil (a desenvolver no conteúdo 3.9.)

3.5. O PLANO
3.5.1. Definição do plano
3.5.2. Rectas contidas num plano (definido ou não pelos seus traços)
3.5.3. Pontos pertencentes ao plano (definido ou não pelos seus traços)
3.5.4. Rectas notáveis de um plano (particularmente, do plano oblíquo: Horizontais, Frontais, de maior declive e de maior inclinação)
3.5.5. Posição de um plano em relação aos planos de projecção
a) Horizontal
b) Frontal
c) De perfil
d) Vertical
e) De topo
f) Oblíquo
g) De rampa
h) Passante
3.5.6. Planos projectantes e Planos não projectantes

3.6 INTERSECÇÕES (recta/plano e plano/plano)
3.6.1. Intersecção de planos (método geral)
3.6.2. Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com os planos bissectores
3.6.3. Intersecção de dois planos projectantes
3.6.4. Intersecção de um plano projectante com um plano não projectante
3.6.5. Intersecção de um plano (definido ou não pelos traços) com um Plano oblíquo e com um Plano de rampa
3.6.6. Intersecção de uma recta projectante com um plano projectante
3.6.7. Intersecção de uma recta não projectante com um plano projectante
3.6.8. Intersecção de uma recta com um plano (método geral)
3.6.9. Intersecção de três planos

3.7. SÓLIDOS I
3.7.1. Pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) de base horizontal ou frontal
3.7.2. Cones (de revolução e oblíquos de base circular) de base horizontal ou frontal
3.7.3. Prismas (regulares e oblíquos de base regular) de bases horizontais ou frontais
3.7.4. Cilindros (de revolução e oblíquos de base circular) de bases horizontais ou frontais
3.7.5. Esfera (Círculos máximos - horizontal, frontal e de perfil)
3.7.6. Pontos e linhas situados nas arestas, nas faces ou nas superfícies dos sólidos

3.8. MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES I
3.8.1. Estrutura comparada dos três métodos auxiliares
3.8.2. Mudança de diedros de projecção (casos que impliquem apenas uma mudança)
3.8.3. Rotações (implicando apenas uma rotação)
3.8.4. Rebatimentos de planos projectantes

3.9. FIGURAS PLANAS II
a) Polígonos e círculos situados em planos verticais
b) Polígonos e círculos situados em planos de topo
c) Polígonos e círculos situados em planos de perfil (desenvolvimento do conteúdo 3.4.)

3.10. SÓLIDOS II
a) Pirâmides (regulares e oblíquas de base regular) com base de perfil
b) Prismas (regulares e oblíquos de base regular) com bases de perfil
c) Cones (de revolução e oblíquos de base circular) com base de perfil
d) Cilindros (de revolução e oblíquos de base circular) com bases de perfil
e) Pirâmides regulares com base vertical
f) Prismas regulares com bases verticais
g) Pirâmides regulares com base de topo
h) Prismas regulares com bases de topo

SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 11º ANO

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 28 de Agosto de 2008)

A seguir, uma listagem dos conteúdos programáticos que deverão ser abordados durante o ano terminal da disciplina.
A listagem mais desenvolvida dos conteúdos do 11º ano de escolaridade pode ser consultada AQUI, da qual a seguinte é uma versão simplificada:

3. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO DIÉDRICA (Continuação)

3.11. PARALELISMO ENTRE RECTAS E PLANOS
3.11.1. Rectas paralelas entre si
3.11.2. Rectas de perfil paralelas entre si
3.11.3. Rectas paralelas a um plano dado
3.11.4. Rectas paralelas a planos bissectores
3.11.5. Plano paralelo a uma recta dada
3.11.6. Planos paralelos entre si (definidos ou não pelos traços)
3.11.7. Planos de rampa paralelos

3.12. PERPENDICULARIDADE ENTRE RECTAS E PLANOS
3.12.1. Noção de perpendicular e ortogonal
3.12.2. Rectas horizontais perpendiculares (concorrentes ou enviesadas)
3.12.3. Rectas frontais perpendiculares (concorrentes ou enviesadas)
3.12.4. Recta horizontal perpendicular (concorrente ou enviesada) a uma recta
3.12.5. Recta frontal perpendicular (concorrente ou enviesada) a uma recta
3.12.6. Outras rectas perpendiculares entre si
3.12.7. Recta perpendicular a um plano dado (incluindo o plano de rampa)
3.12.8. Plano perpendicular a uma recta dada (incluindo a recta de perfil)
3.12.9. Rectas oblíquas perpendiculares
3.12.10. Planos oblíquos e de rampa perpendiculares entre si
3.12.11. Planos perpendiculares aos planos bissectores
3.12.12. Outros planos perpendiculares entre si

3.13. MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II
3.13.1. Segmentos de recta e rectas pertencentes ao plano vertical, de topo ou de perfil (Revisões)
3.13.2. Determinação da verdadeira grandeza de Segmentos de recta pertencentes ao plano oblíquo
a) Segundo o Método do triângulo do rebatimento (sobre o P.H.P. ou sobre o P.F.P.)
b) Por Rebatimento do plano oblíquo sobre um plano horizontal ou sobre um plano frontal
e) Por Mudança de diedro
3.13.3 Determinação da verdadeira grandeza de Segmentos de recta pertencentes ao plano de rampa
a) Segundo o Método do triângulo do rebatimento (sobre o P.H.P. ou sobre o P.F.P.)
b) Por Mudança de diedro

3.14. FIGURAS PLANAS III
3.14.1. Determinação da verdadeira grandeza de uma figura plana vertical, de topo ou de perfil (Revisões)
3.14.2. Determinação da verdadeira grandeza de uma Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano oblíquo
a) Segundo o Método do triângulo do rebatimento (sobre o P.H.P. ou sobre o P.F.P.)
b) Segundo o Método das rectas horizontais (sobre o P.H.P.)
c) Segundo o Método das rectas frontais (sobre o P.F.P.)
d) por Mudança de diedro
3.14.3. Determinação da verdadeira grandeza de uma Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano de rampa
a) Segundo o Método do triângulo do rebatimento (sobre o P.H.P. ou sobre o P.F.P.)
b) por Mudança de diedro
3.14.4. Determinação da verdadeira grandeza de uma Figura plana (polígono ou círculo) pertencente ao plano passante
a) Segundo o Método do triângulo do rebatimento (sobre o P.H.P. ou sobre o P.F.P.)

3.15. PROBLEMAS MÉTRICOS - DISTÂNCIAS
3.15.1. Distância entre dois pontos
3.15.2. Distância de um ponto a um plano
3.15.3. Distância entre dois planos paralelos
3.15.4. Distância de um ponto a uma recta

3.16. PROBLEMAS MÉTRICOS - ÂNGULOS
3.16.1. Ângulo entre duas rectas concorrentes
3.16.2. Ângulo entre duas rectas enviesadas
3.16.3. Ângulo de uma recta com um plano frontal ou horizontal
3.16.4. Ângulo de ou de uma recta com um plano
3.16.5. Ângulo de um plano com um plano frontal ou horizontal
3.16.6. Ângulo entre dois planos

3.17. SÓLIDOS III
3.17.1. Pirâmides e prismas regulares com bases situadas em planos oblíquos
3.17.2. Pirâmides e prismas regulares com bases situadas em planos de rampa

3.18. SECÇÕES
3.18.1. Secções em pirâmides ou prismas por planos horizontal, frontal e de perfil (sólidos com a(s) base(s) em qualquer tipo de plano)
3.18.2. Secções de cones, cilindros e esfera por planos projectantes
3.18.3. Secções em pirâmides e prismas de base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil por qualquer tipo de plano
3.18.4. Truncagem de sólidos

3.19. SOMBRAS
3.19.1. Generalidades
3.19.2. Noção de sombra própria, espacial, projectada (real e virtual)
3.19.3. Direcção luminosa convencional
3.19.4. Sombra Project. de pontos, seg. recta e recta nos pl. de projecção
3.19.5. Sombra própria e sombra projectada de figuras planas (situadas em qualquer plano) sobre os planos de projecção
3.19.6. Sombra própria e sombra projectada de pirâmides e de prismas, com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil, nos pl. de projecção
3.19.7. Sombra própria e sombra projectada de cones e de cilindros, com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil, nos pl. de projecção

4. SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA

4.1. INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA
4.1.1. Caracterização
4.1.2.Aplicações

4.2. AXONOMETRIAS ORTOGONAIS: TRIMETRIA, DIMETRIA E ISOMETRIA
4.2.1. Generalidades
4.2.2. Determinação gráfica das escalas axonométricas
a) Rebatimento do plano definido por um par de eixos
b) Rebatimento do plano projectante de um eixo
4.2.3. Axonometrias ortogonais normalizadas

4.3. AXONOMETRIAS CLINOGONAIS: CAVALEIRA E PLANOMÉTRICA
4.3.1. Generalidades
4.3.2. Direcção e inclinação das projectantes
4.3.3. Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo normal ao plano de projecção através do rebatimento do plano projectante desse eixo
4.3.4. Axonometrias clinogonais normalizadas

4.4. REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE FORMAS TRIDIMENSIONAIS
a) Métodos de construção
4.4.1. Método das coordenadas
4.4.2. Método do paralelepípedo circunscrito ou envolvente
4.4.3. Método dos cortes (só no caso da axonometria ortogonal)
b) Representação axonométrica de um conjunto de sólidos ou de um sólido dado em Representação Triédrica

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2017 - 1ª FASE

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta r, paralela a um plano de rampa delta.
Dados:
- o plano delta contém a recta de perfil p;
- a recta p contém o ponto A (0; -2; 4) e define um ângulo de 30º com o plano horizontal de projecção;
- o traço horizontal da recta p tem afastamento negativo;
- a recta r contém o ponto T (-4; 8; 2);
- a projecção horizontal da recta r define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x.

EXERCÍCIO 2

Determine as projecções e a verdadeira grandeza do segmento de recta que corresponde à distância do ponto P ao plano teta.
Dados:
- o plano teta contém os pontos R (0; 2; 4) e S (-2; 4; 4) e é perpendicular ao plano bissector dos diedros impares;
- o ponto P tem -5 de abcissa, 5 de afastamento e pertence ao plano bissector dos diedros pares.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide regular de base triangular, situada no 1º diedro.
Dados:
- a base [ABC] pertence a um plano oblíquo alfa;
- o plano alfa é definido pelos pontos A (-1; 4; 2), B (-4; 0; 9) e K do eixo x, com 2 de abcissa;
- o vértice V da pirâmide tem 4 de abcissa.

Pelo facto de o enunciado não favorecer a resolução do exercício através do rebatimento do plano oblíquo sobre o plano frontal de projecção (em virtude de a aresta [BC] quase pertencer a uma das rectas de maior inclinação do plano, com as quase coincidências daí resultantes) apresentam-se a seguir duas propostas de resolulção:

a) através do rebatimento do plano oblíquo que contém a base da pirâmide sobre o plano frontal de projecção (método das rectas frontais):

b) através do rebatimento do plano oblíquo que contém a base da pirâmide sobre o plano horizontal de projecção (método do triângulo do rebatimento):

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
- dimetria: a projecção axonométrica do eixo x define um ângulo de 110º com a projecção axonométrica dos eixos y e z;
Prismas:
- os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;
- as arestas das bases dos prismas medem 2 cm.
Prisma 1:
- o vértice M (7; 7; 9) e o vértice N (7; 7; 2) definem a aresta lateral com maior abcissa e maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xy;
Prisma 2:
- o vértice M é o de maior abcissa e menor cota da base com maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xz;
Prisma 3:
- o vértice N é o de maior afastamento e maior cota da base com maior abcissa do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2016 - 2ª FASE

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano teta perpendicular ao plano alfa.
Dados:
- o plano alfa é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (0; 2; 4);
- o traço frontal do plano alfa contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º de abertura para a esquerda, com o eixo x;
- o plano teta contém o ponto P (0; 4; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º de abertura para a esquerda, com o eixo x.

EXERCÍCIO 2

Determine as projecções de um rectângulo [ABCD] situado num plano oblíquo delta e no primeiro diedro.
Dados:
- o plano delta é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma recta horizontal h;
- a recta horizontal h contém o vértice A (0; 3; 2) e define um ângulo de 55º , de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
- o lado [AB] do rectângulo mede 9cm e o vértice B tem cota nula;
- os lados menores do rectângulo medem 6cm.

EXERCÍCIO 3

Determine as projecções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projectada nos planos de projecção.
Destaque, a traço mais forte, as projecções da pirâmide e as linhas invisíveis da sombra projectada nos planos
de projecção. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projectada.
Dados:
- o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao plano frontal de projecção;
- a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
- o vértice B tem 2 de abcissa;
- o vértice C tem abcissa positiva;
- o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;
- a direcção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- a projecção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140º com a projecção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130º com a projecção axonométrica do eixo z.
- a inclinação das rectas projectantes com o plano axonométrico é de 55º.
NOTA: considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado possitivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direira para a esquerda.
Prismas:
- os dois prismas são iguais e têm 3cm de altura;
- os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.
Prisma 1:
- o vértice A (4; 9; 7) e o vértice B (10; 9; 7) sefinem uma aresta da base com maior afastamento;
- o outro vértice dessa base é o de menor cota.
Prisma 2:
- o vértice R (13; 9; 7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;
- o outro vértice dessa base é o de maior cota.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2016 - 1ª FASE

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções do ponto I, resultante da intersecção da recta r com o plano alfa.
Dados:
- o plano alfa contém o ponto A (5; -2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 35º de abertura para a direita, com o eixo x;
- a recta r contém o ponto P (-7; 0; 0);
- a projecção horizontal da recta r é perpendicular ao traço horizontal do plano a;
- a projecção frontal da recta r é paralela ao traço frontal do plano alfa.

NOTA: O enunciado original pode ser consultado nesta ligação (a editar)

EXERCÍCIO 2

Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos pi e téta.
Destaque, a traço mais forte, as semirrectas que definem o ângulo.
Dados:
- o plano pi é de perfil com -4 de abcissa;
- o plano téta é definido pela recta de maior declive d, que contém o ponto A (0; 3; 2);
- as projecções horizontal e frontal da recta d fazem, respectivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.

NOTA: O enunciado original pode ser consultado nesta ligação (a editar)

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, a sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ró numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1º diedro.
Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo plano frontal de projecção. Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.
Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projecções visíveis da secção.
Dados:
- a base da pirâmide [ABCD] pertence ao plano frontal de projecção;
- o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;
- a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção;
- o vértice B tem abcissa nula;
- a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;
- o plano ró está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

NOTA: O enunciado original pode ser consultado nesta ligação (a editar)

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projecções axonométricas dos eixos y e z.
NOTA 1: considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado possitivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direira para a esquerda.

Prismas:
- os dois prismas são igiais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 de altura;
- o vértice A (8; 8; 0) e o vértice B (8; 8; 7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;
- o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.

NOTA 2: O enunciado original pode ser consultado nesta ligação (a editar)

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2015 - 2ª FASE

 

Determine os traços do plano alfa perpendicular ao plano de rampa delta.
Dados:
- o plano delta é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;
- o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, beta13;
- o plano alfa contém o ponto P (0; 9; 8);
- o traço frontal do plano alfa forma um ângulo de 45º de abertura para a esquerda, com o eixo x.

Para esta resolução, recorri ao rebatimento do plano de perfil que contém a recta de perfil p, que, por ser perpendicular à recta de perfil beta, é perpendicular e ao plano de rampa delta. os traços horizontal e frontal da recta p permitem-nos determinar a seguir os traços do plano oblíquo pedido.

Nesta resolução, determinei o traço frontal do plano de rampa através da recta oblíqua a, que é perpendicular às rectas frontais do plano oblíquo pedido. Pelo ponto P, desenhei a recta horizontal p, perpendicular à recta a e, pelo seu traço frontal, desenhei o traço frontal do plano oblíquo pedido. O traço horozontal do plano oblíquo alfa é paralelo à recta horizontal p.

EXERCÍCIO 2

Determine a amplitude do ângulo entre o plano frontal de projecção e o plano oblíquo ómega.
Dados:
- o plano ómega é definido pelo ponto A (-4; 6; 5) e por uma recta horizontal h;
- a recta h contém o ponto B (0; 4; 2) e forma um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

EXERCÍCIO 3

Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura de secção produzida por um plano vertical teta, num cubo situado no primeiro diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projecções do cubo e da figura de secção e a sua verdadeira grandeza.
Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido.
Dados:
- o cubo tem duas faces frontais;
- o ponto A (3; 0; 3) e o ponto C (7; 0; 10) são vértices de uma diagonal da face frontal [ABCD];
- o plano teta contém o ponto M do eixo x com -1 de abcissa e forma um diedro de 45º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção.

EXERCÍCIO 4

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2015 - 1ª FASE

Nesta ligação, poderão deixar os vossos comentários ou questões que queiram colocar sobre a prova. Obrigada pela visita.

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano téta paralelo ao plano de rampa ró.
- o plano ró contém a recta de perfil p, definida pelos pontos A (3; 3; 6) e B com 9 de afastamento e -2 de cota;
- o plano teta contém o ponto P de abcissa nula e -5 de cota, pertencente ao plano frontal de projecção.

EXERCÍCIO 2

Determine a amplitude do ângulo entre as direcções das rectas a e b.
Dados:
- a recta a contém o ponto P (2; 6; 3);
- as projecções horizontal e frontal da recta a formam ângulos de 60º , de abertura para a direita, com o eixo x;
- a recta b é horizontal, contém o ponto S (-6; 5; 2) e forma um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção

EXERCÍCIO 3

Determine as projecções de um prisma oblíquo de bases regulares frontais, situado no primeiro diedro, e das suas sombras, própria e projectada nos planos de projecção.
Destaque, a traço mais forte, as projecções do prisma e as linhas invisíveis da sombra projectada nos planos de projecção e, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólidos e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projectada.
Dados:
- o ponto A (0; 0; 0) e B (-3; 0; 5) são vértices consecutivos do quadrado [ABCD] de uma das bases do prisma;
- as projecções horizontais e frontais das rectas que contêm as arestas laterais do prisma formam ângulos de 55º e 35º, ambos de abertura para a direta, com o eixo x;
- o prisma tem 3cm de altura;
- a direcção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cones de revolução.
Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- a projecção do eixo y forma um ângulo de 120º com a projecção do eixo z e um ângulo de 150º com a projecção do eixo x;
- a inclinação das rectas projectantes em relação ao plano axonométrico é de 55º.
Cones:
- os dois cones são iguais e têm uma geratriz comum;
- o ponto O (9; 2; 5) e o ponto O’ (6; 12; 5) são os centros das bases de cada um dos cones;
- as bases são paralelas ao plano coordenado xz e têm 3 cm de raio.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2014 - EPOCA ESPECIAL

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta i resultante da intersecção entre os planos delta e alfa.
Dados:
- o plano delta é definido pelo ponto A (-4; 4; 2) e pela recta g;
- a recta g é fronto-horizontal com 2 de afastamento e 4 de cota;
- o plano alfa contém o ponto K do eixo x com 5 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com este eixo;
- o plano alfa é oblíquo e perpendicular ao bissector dos diedros pares.

Para esta resolução, determinamos as projecções da recta oblíqua a definida pelos pontos A e G do plano de rampa, a partir de cujos traços horizontal e frontal se determinaram os traços homónimos deste último e, posteriormente, os traços da sua recta de intersecção com o plano oblíquo de traços coincidentes.

EXERCÍCIO 2

Determine a verdadeira grandeza da distância entre os planos paralelos miú e ómega.
Dados:
- o plano miú é de rampa e o plano ómega é passante;
- os traços horizontal e frontal do plano miú têm, respectivamente, 4 de afastamento e -3 de cota.

Comentário: a formulação "verdadeira grandeza da distância" é redundante, na medida em que a distância é, por definição, em verdadeira grandeza.
Nesta resolução, rebatemos o plano perpendicular aos planos dados sobre o plano frontal de projecção no sentido directo e representamos, em rebatimento, a recta de perfil p que é perpendicular à recta de perfil a e à recta passante de perfil b que resultam da intersecção do plano de perfil com, respectivamente, o plano de rampa e o plano passante. A distância pedida corresponde ao comprimento do segmento de recta que tem I rebatido e J rebatido por extremos.

EXERCÍCIO 3


Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo teta num cone de revolução com base situada num plano horizontal. Destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano horizontal de projecção. Preencha, a tracejado, a projecção visível da secção.
Dados:
- o ponto O (0; 6; 8) é o centro da base que tem 4 cm de raio;
- o vértice V do sólido pertence ao plano horizontal de projecção;
- o plano de topo teta contém o ponto M do eixo x com 2 de abcissa e é paralelo à geratriz mais à direita do sólido.

Comentário: a formulação "a geratriz mais à direita do sólido" é incorrecta, na medida em que a geratriz em causa contém pontos cuja abcissa varia entre 0 e -4. Julga-se por isso mais correcto referir "a geratriz que contém o ponto mais à direita do sólido".
A secção produzida é uma parábola, porque o plano secante é paralelo a uma única geratriz. Este exercício é muito semelhante ao do exame de 2010 da 1ª fase.

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cubos.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- a projecção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 145º com a projecção do eixo z e um ângulo de 125º com a projecção do eixo x;
- a inclinação das rectas projectantes com o plano axonométrico é de 55º.
Cubos:
- os dois cubos são iguais e têm 5cm de aresta, ambos com faces paralelas aos planos coordenados;
- o ponto A (2; 7; 7) é o vértice de um dos cubos com menor abcissa, maior afastamento e maior cota;
- o ponto M (12; 7; 0) é o vértice do outro cubo com maior abcissa, maior afastamento e menor cota.

Comentário: O enunciado apresenta as seguintes redundâncias: o ângulo entre os eixos axonométricos x' e y', que era desnecessário indicar, visto que a axonometria em causa é cavaleira; se os dois cubos têm 5cm de aresta, é escusado referir que são iguais. Para além disso, teria sido mais correcto referir vértice com menor abcissa, maior afastamento e maior cota de um dos cubos e vértice com maior abcissa, maior afastamento e menor cota do outro cubo.
A construção do sólido composto não apresenta grandes dificuldades, sendo inclusive dispensável a determinação da direcção de afinidade.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2014 - 2ª FASE

Nesta ligação, poderão deixar os vossos comentários ou questões que queiram colocar sobre a prova. Obrigada pela visita.

EXERCÍCIO 1


Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da recta fronto-horizontal g com o plano alfa.
Dados:
- a recta g, com 6 de afastamento, pertence ao bissector dos diedros ímpares;
- o plano alfa é definido pelo ponto K do eixo x com 4 de abcissa e pela recta frontal f;
- a recta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pela recta oblíqua r e o plano de topo teta.
Dados:
- a recta r é definida pelos pontos A (-4; 2; 5) e B (0; 6; -1);
- o plano teta contém o ponto S do eixo x com 3 de abcissa e faz um diedro de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical delta numa pirãmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.
Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo plano frontal de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante. Preencha, a tracejado, a projecção visível da secção.
Dados:
- o vértice A (0; 9; 0) é o de menor cota
- a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10cm
- o vértice V do sólido pertence ao plano frontal de projecção
- o plano delta contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de55º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projecção.

EXERCÍCIO 4


Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e um cubo. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- a projecção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135º com as projecções dos eixos z e x;
- a inclinação das rectas projectantes com o plano axonométrico é de 55º.
Prisma quadrangular:
- as bases do prisma pertencem a planos frontais;
- o ponto A (4; 12; 0) e o ponto C (9; 12; 5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;
- o prisma tem 11 cm de altura.
Cubo:
- as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;
- o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;
- a aresta do cubo mede 3 cm.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2014 - 1ª FASE

Podem deixar os vossos comentários à prova de exame aqui. Obrigada pela visita.

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano teta paralelo ao plano alfa.
Dados:
- o plano teta é definido pelos pontos A, B e C;
- o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao bissector dos diedros ímpares;
- o ponto B, com -6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao bissector dos diedros pares;
- ponto C (-8; 4; -4);
- o plano teta contém P (-2; 2; -6).

A partir dos pontos A, B e C, foram determinadas as rectas horizontal a e passante b, do plano alfa, que fica deste modo representado por duas rectas concorrentes (não havendo por isso necessidade de determinar os seus traços). Passando pelo ponto P, representamos a recta oblíqua p, paralela à recta b, a partir de cujo traço horizontal determinamos o traço horizontal do plano pedido, que é paralelo às rectas horizontais do plano alfa. A intersecção deste traço horizontal com o eixo x permite-nos então determinar o traço frontal do plano pedido, que contém o traço frontal da recta p.

EX 1 - 2014 1 fase

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas p e f, concorrentes no ponto B.
Dados:
- a recta p de perfil é definida pelo ponto A (2; 4; 2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;
- a recta f é frontal e faz um ãngulo de 45º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção.

Para a determinação da amplitude pedida, rebatemos o plano oblíquo que contém as rectas dadas sobre o plano frontal que contém a recta frontal f.

EX 2 - 2014 1 fase

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ómega. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- vértice A (5; 3; 6);
- o traço horizontal do plano ómega tem 9 de afastamento;
- o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;
- o vértice C tem abcissa negativa;
- o vértice V do sólido pertence ao plano horizontal de projecção.

As projecções do triângulo [ABC] foram determinadas através do rebatimento do plano de rampa que o contém, sobre o plano frontal de projecção. As projecções do vértice da pirâmide foram determinadas através do rebatimento do plano que contém as rectas de perfil i e p. A recta i resulta da intersecção do plano de rampa com o plano de perfil, enquanto que a recta p é a recta que contém o centro da base e lhe é perpendicular.

EX 3 - 2014 1 fase

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadrangulares. Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados:
Sistema axonométrico:
- a projecção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150º com a projecção do eixo z e um ângulo de 120º com a projecção do eixo x;
- a inclinação das rectas projectantes com o plano axonométrico é de 55º.
Prismas quadrangulares regulares:
- os dois prismas são iguais e têm 8cm de altura.
Prisma 1:
- as bases do prisma são frontais;
- o ponto R (9; 10; 8) e o ponto S (5; 10; 8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.
Prisma 2:
- as bases do prisma são horizontais;
- o ponto S e o ponto T (1; 10; 8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.

EX 4 - 2014 1 fase

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2013 - 2ª FASE

Publico a seguir a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.
Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta passante s, perpendicular à recta r, no ponto A.
Dados:
- a recta r é passante e está definida pelo ponto A, com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa
- a projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 50º de abertura para a direita, com o eixo x.

Resolvemos este exercício pelo rebatimento, sobre o plano frontal de projecção, do plano passante que contém as duas rectas.

EXERCÍCIO 2

Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelo planos delta e teta
Dados:
- o plano delta é vertical, contém o ponto M do eixo x com -3 de abcissa e faz um ângulo de 60º de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção
- o plano teta é de topo, contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de 60º de abertura para a direita, com o plano horizontal de projecção.

Determinamos o ângulo pedido rebatendo o plano definido pelas concorrentes rectas a e b, perpendiculares, respectivamente ao plano de topo e ao plano vertical, sobre o plano horizontal da recta b.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra projectada nos planos de projecção de um cilindro oblíquo de bases circulares situadas em planos frontais, e situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projecções do cilindro e o contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).
Dados
- o ponto O (0; 4; 7,5) é o centro da circunferência com 3,5cm de raio de uma das bases do cilindro;
- as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem um ângulo de 60º de abertura para a direita com o plano frontal de projecção;
- a outra base do cilindro pertence ao plano frontal de projecção;
- a direcção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
- a projecção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projecção do eixo x e um ângulo de 130º com o eixo x
- a inclinação das projectantes com o plano axonométrico é de 50º
Prisma quadrangular:
- as bases do prisma pertencem a planos frontais;
- o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6;0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;
− o prisma tem 2cm de altura.
Prisma triangular:
− o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;
− a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.

Note-se que o enunciado não refere que o prisma quadrangular pedido se localiza no espaço do primeiro triedro. Em face desta omissão, as bases deste prisma podem, legitimamente, ser representadas no espaço situado abaixo do plano coordenado horizontal. Nesta situação e relativamente à base de maior afastamento, a aresta oposta a [AB] continua a localizar-se a igual distância daquele plano coordenado e os pontos A e B a ser os de menor cota do prisma (recorde-se, a propósito, que as coordenadas de um ponto são distâncias a que atribuímos sinal negativo, em determinadas circunstâncias, meramente por convenção).

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2013 - 1ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções do ponto I resultante da intersecção da reta de topo t com o plano oblíquo δ.
Dados
- a reta t tem –5 de abcissa e 5 de cota;
- o plano δ está definido por duas rectas paralelas, a e b;
- a reta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
- a projeção frontal da reta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
- a reta b contém o ponto N (6; 4; –1).

Determinamos as projecções do ponto I utilizando o plano horizontal da recta de topo como auxiliar do método geral. As notações do ponto pedido estão a cor azul, por não ser possível escrevê-las a bold.

EXERCÍCIO 2

Determine as projecções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.
Dados
- o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);
- a recta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;
- o vértice A do pentágono é o traço frontal da recta p.

Determinamos o traço frontal da recta p por rebatimenrto do plano de perfil que a contém, sobre o plano horizontal de projecção, no sentido retrógrado. Determinamos as projecções do pentágono através do rebatimento do plano de rampa que o contém, sobre o plano horizontal de projecção.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra projectada nos planos de projecção de um cone oblíquo, de base circular situada num plano horizontal, e situado no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projecções do cone e o contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada).
Dados
- a base do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano horizontal com 1 de cota;
- a geratriz [AV] situada mais à esquerda é vertical, com 4 de abcissa e 6 de afastamento;
- a geratriz [AV] mede 8 cm;
- a direcção luminosa é a convencional.

 

EXERCÍCIO 4

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
- dimetria: a projecção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projecções dos eixos x e y (considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma hexagonal:
- as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
- o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;
− a outra base está situada no plano coordenado xy.
Prisma triangular:
− as bases do prisma pertencem a planos frontais;
− o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
− a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.

Não foram representadas, a traço fino, as arestas invisíveis do sólido, por não terem sido necessárias para a presente resolução.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2012 - 2ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

EXERCÍCIO 2

(Observação: a indicação numérica da verdadeira grandeza de [PI] não era obrigatória, uma vez que o pedido era a sua determinação gráfica)

EXERCÍCIO 3

EXERCÍCIO 4

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2012 - 1ª FASE

Aqui está a minha proposta de resolução do exame nacional de hoje. Podem deixar os vossos comentários aqui. Obrigada pela visita.

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.
Dados
− o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
− o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
− o plano δ contém o ponto P (–6; 7; 5).

Observação: dois planos que contêm direcções ortogonais dizem-se perpendiculares, não ortogonais.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.
Dados
− o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;
− o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
− a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;
− o traço frontal da reta d tem – 4 de cota;
− a reta h contém o ponto P (0; –1; 7) e faz um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1.º diedro.
Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.
Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.
Dados
−− os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) são dois dos vértices da base [ABCD] da pirâmide;
−− a aresta lateral [AV] é fronto-horizontal;
−− o vértice V tem –10 de abcissa;
−− a direção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

4. Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular
regular e por um cubo.
Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
−− dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com as projeções dos eixos x e y.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para
cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular:
−− o ponto A (3; 2; 0) e o ponto B (3; 10; 0) são os vértices de uma aresta de uma das bases do prisma;
−− a outra base está contida no plano coordenado yz.
Cubo:
−− uma das faces do cubo pertence ao plano da base do prisma, que contém a aresta [AB];
−− os vértices desta face são os pontos médios das arestas da base do prisma.

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2011 - 2ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.
Dados
− o plano δ está definido por uma recta de maior declive, d;
− a recta d contém o ponto P (–2; 3; 4);
− as projecções, horizontal e frontal, da recta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respectivamente;
− os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respectivamente.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.
Dados
− o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
− o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela recta r;
− a recta r contém o ponto M (6; –6; 9);
− o ponto F, traço frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projecção, de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1.º diedro.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do cilindro.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
− o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
− o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
− o ponto O', centro da outra base, tem 4,5 de cota;
− o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projecção;
− a direcção luminosa é a convencional

EXERCÍCIO 4

uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma pirâmide hexagonal regular e um cubo.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
−− trimetria: a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.
Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Sólidos:
−− têm um eixo comum contido numa recta vertical.
Pirâmide hexagonal regular:
−− o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;
−− duas arestas da base são paralelas ao eixo x;
−− um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;
−− o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.
Cubo:
−− as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;
−− a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;
−− as arestas medem 2 cm.

 

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2011 - 1ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções do ponto I, traço da recta b, no plano bissector dos diedros pares.

- a recta b é paralela ao plano delta

- a recta b contém o ponto P (-7; 7; -2)

- a projecção horizontal da recta b faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x

- o plano delta está definido pelos pontos R (3, 6; 3), S (0; 6; 5) e T (-3; 1: 5).

Comentário: para definir o traço de uma recta no bissector dos diedros pares, há que definir as projecções da recta e determinar o ponto em que estas se intersectam, que será, precisamente, o ponto procurado. O "problema" deste exercício era, precisamente, o de definir a projecção frontal da recta b, uma vez que a horizontal era-nos dada. Sendo a recta b paralela ao plano delta, bastar-nos-á determinar uma recta desse plano que lhe seja paralela. Neste proposta de resolução, optei por desenhar uma recta do plano delta (recta h, definida pelos pontos T e S) e desenhar, a partir do ponto R, uma recta com a projecção horizontal paralela à projecção horizontal da recta b (a projecção frontal da recta r será definida mediante a determinação do ponto A, de intersecção desta recta com a recta h anteriormente desenhada). Depois de desenharmos r2, bastar-nos-á definir a projecção frontal da recta b, passando pela projecção frontal do ponto P e definir então o ponto I da recta.

Havendo, obviamente, outras hipóteses de resolução, não considero que este exercício seja de grande dificuldade, senão pelo facto de conjugar as condições de pertença/incidência de uma recta num plano com conceitos básicos do paralelismo entre rectas e planos e de intersecção de uma recta com o bissector dos diedos pares, factores que o tornam, precisamente, num exercício mais interessante do que outro que não articule tantos conhecimentos do programa. Não esquecer que, para qualquer ponto representado e independentemente da localização das suas projecções em relação ao eixo x, nunca deve ser omitida (ou esquecida) a definição da sua linha de chamada, sob pena de contrariarmos as convenções gráficas aplicáveis.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas a e p.

- as rectas a e p são concorrentes no ponto C (0; 4; 5)

. o ponto F, traço frontal da recta a, tem 8 de abcissa e -3 de cota

- a recta p é de perfil

- o ponto H, traço horizontal da recta p, tem 8 de afastamento.

Comentário: sendo as duas rectas concorrentes, bastará rebatermos o plano oblíquo que as contém sobre um dos planos de projecção ou sobre um plano que lhes seja paralelo. na minha proposta, optei por rebater este plano sobre o plano horizontal de projecção, tendo, para o efeito, determinado o traço horizontal da recta a. Unindo este ponto ao traço horizontal da recta p, defini o traço horizontal do plano alfa, que será a charneira ou eixo do rebatimento - note-se que os traços horizontais das duas rectas, por lhe pertencerem, coincidirão com o seu rebatimento. o traço frontal do plano oblíquo foi definido, unindo o traço frontal da recta a ao ponto em que h alfa intersecta o eixo x, embora não fosse necessário. a determinação do rebatimento do ponto C foi realizada segundo o método do triângulo do rebatimento. Unido o rebatimento de C aos traços horizontais das rectas em rebatimento, estarão definidas as duas rectas a e p rebatidas, a partir das quais poderemos destacar o ângulo pedido.

Pessoalmente, não considero que este exercício pudesse apresentar grande dificuldade, até porque é bastante similar ao exercício de exame nacional de 2003 – 1ª fase 2ª chamada (DGD-A, código 408, correspondente ao ex. D-A5 desta página), o que uma vez mais comprova o quão importante é resolver todos os exercícios de exame nacional de anos anteriores... E mais uma vez, o GAVE não nos dá indicação de como deve ser destacado o ângulo pedido, pelo que optei pela apresentação mais expedita.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, um prisma triangular regular, situado no 1º diedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

- as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissector dos diedros ímpares

- a base [ABC] está contida no plano alfa, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x

- o ponto A (1; 3; 0) é um dos vértices da base referida

- o ponto O' (3; 10, 9) é o centro da outra base.

Comentário: este exercício poderia ser o único considerado com algum grau de dificuldade, por não ser tão evidente, à partida. Pelo facto de nos ter sido dado o centro O' da outra base, haveria, necessariamente, que definir o eixo do prisma, perpendicular ao plano de cada uma das bases e, para determinar o ponto O (centro da base [ABC]) determinar o ponto de intersecção entre este eixo e o plano alfa, que teria de ser executado com recurso ao método geral de intersecção de rectas com planos, ou seja: definir um plano que contenha a recta em causa (na minha resolução, optei por um plano de topo beta), determinar a recta i (de intersecção entre os planos beta e alfa) e definir o ponto O, na intersecção entre o eixo do prisma e a recta i. Depos de definido o ponto O, haveria que rebater o plano alfa para definir o triângulo equilátero [ABC], contrarebatê-lo e, finalmente, transportar a medida do eixo em cada projecção para as projecções homónimas das arestas laterais do prisma (sem esquecer de desenhar as linhas de chamada de todos os pontos determinados).

Neste exame (e falo, novamente, a título pessoal) este exercício acabou por ser o mais interessante, por conjugar vários conteúdos diferentes, embora sempre interligados, do programa. Admito, contudo que, por não ser tão evidente em termos de compreensão, terá sido o de resolução menos imediata e, por essa razão, mais difícil para a grande maioria dos alunos. Acrescente-se que era absolutamente desnecessário indicar que o prisma se situa no primeiro diedro, pela localização dos elementos dados.

EXERCÍCIO 4

Comentário: Pessoalmente, considero que este foi o exercício menos interessante da história da representação axonométrica nos exames nacionais das disciplinas de GD-A e de DGD-A (talvez com a óbvia excepção do Exame Nacional de 2002 – 2ª fase (DGD-A, código 408 - ex. AX-C3 desta página, com a escandalosa (para as circunstâncias actuais) cotação de 7,5 valores) e em que não existe sequer uma justaposição interessante dos dois sólidos pedidos. Não me parece que possa ter havido grande dificuldade para quem estivesse medianamente preparado para trabalhar no sistema de representação axonométrica clinogonal, já que não era necessária a representação da direcção de afinidade, mas apenas indispensável a determinação da redução dos afastamentos dados e a compreensão da posição dos dois sólidos.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2010 - 2ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame de hoje que, espero, tenha corrido bem a todos.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui, a que responderei mal me seja possível. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano pí que contém o ponto P e é paralelo ao plano alfa
Dados
– o plano alfa é definido pelas rectas a e b
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3)
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita
– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes
– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
– as bases estão contidas em planos de perfil
– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE]
– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa
– a direcção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

4. Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– trimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos:
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular
– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy
– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular
– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento
– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2010 - 1ª FASE

Aqui têm a minha proposta de resolução do exame que decorreu hoje e que, espero, tenha corrido bem a toda a gente.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui, a que responderei mal me seja possível. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

Dados:
– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Observação:

Note-se que não basta que uma recta pertença a um plano perpendicular à recta dada para lhe ser perpendicular (qualquer recta desse plano ser-lhe-á ortogonal - isto é, de direcção perpendicular à recta dada, mas não concorrente com ela). Rectas perpendiculares são, necessariamente, concorrentes, pelo que, depois de definido o plano alfa, perpendicular à recta r (com o auxílio, nesta proposta de resolução, da recta frontal f ortogonal à recta r), há que determinar o ponto em que a recta r e o plano alfa se intersectam (ponto I) para que as rectas s e r sejam, efectivamente, perpendiculares.

EXERCÍCIO 2

Determine as projecções do triângulo [LMN].

Dados:
– o triângulo está situado no 1.º diedro;
– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
– o lado [LN] mede 8 cm;
– o ponto N é o vértice de menor cota.

Observação:

Provavelmente o maior problema deste exercício foi o facto de o enunciado não ter referido que o plano do triângulo era oblíquo (assim, com certeza que teria sido muito mais simples de compreender que o lado [LN] pertenceria a uma recta oblíqua).

Antes de definirmos o plano oblíquo, rebateu-se o plano de perfil alfa que contém a recta de perfil p, de modo a que esta pudesse ser desenhada, em rebatimento, a 50º do Plano Horizontal de Projecção, para determinação do seu traço horizontal que, unido ao traço horizontal da recta frontal f que contém [LM], nos define o traço horizontal do plano oblíquo beta. Depois de definirmos este plano (note-se que o seu traço frontal era desnecessário), é uma questão de rebater os pontos L e M e a recta p, à qual deverá pertencer o ponto L em rebatimento e, a partir daí, contra-rebater L e definir as projecções do triângulo com traço expressivo.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.
Preencha a tracejado a projecção visível da secção.

Dados:
– a base está contida num plano horizontal;
– o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

Observação:

Já tardava a determinação da secção do cone num exame nacional... Para sorte de muitos examinandos, este caso é um dos mais simples, porque a curva obtida é uma parábola. A resolução também não será muito difícil, recorrendo, por exemplo, a planos secantes paralelos ao plano da base. Não foram atribuídas notações aos pontos de secção determinados para não sobrecarregar excessivamente o desenho.

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.


Prisma hexagonal regular:
– duas faces são horizontais;
– a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento
definem uma aresta dessa face;
– uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.

Prisma quadrangular regular:
– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento
definem a aresta de menor abcissa dessa base;
– a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

Observação:

Este exercício era algo semelhante ao exercício 4 do exame de 2009 da 2ª fase, embora menos trabalhoso. Não era forçoso que se rebatesse o plano coordenado lateral para determinação das bases do hexágono (como podem ver neste exercício). Teria sido preferível resolver o exercício com a folha na horizontal, para não haver problemas de falta de espaço (claro que só descobrimos isto durante a realização do exame - será que seria pedir muito algum aviso, no próprio enunciado, nesse sentido? Muitas vezes o faço nos testes dos meus alunos...).

Pessoalmente, acho que o sólido resultante ficou um pouco estreito (se as faces laterais do prisma hexagonal fossem quadradas (tendo os vértices A e B, 6 de abcissa e os vértices P e Q também), o sólido teria ficado um pouco mais interessante, dada a sua semi-regularidade.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2009 - 2ª FASE

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 15 de Julho de 2009 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

Espero que o exame vos tenha corrido bem e desejo, desde já, boa sorte para os resultados.
Em minha opinião, considero que este prova era acessível e mesmo interessante, embora muito mais trabalhosa do que a da 1ª fase - os alunos que só foram a esta fase, com certeza não estariam a contar com tanto trabalho, dado que as duas provas não eram nada equivalentes.
Houve um aspecto negativo na prova: a resolução dos exercícios 2, 3 e 4 precisava de um espaço maior do que o habitual, o que pode ter prejudicado quem, à partida, teve dificuldades em enquadrar o desenho. Quem faz a prova de exame não deveria ter que se preocupar em perder tempo com esta questão, lutando contra a falta de espaço na folha...

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo pí com o plano passante θ.

– o plano pí intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano pí fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6)

Observação: Este exercício não era complicado e poderia até ter uma resolução simples, se o plano auxiliar utilizado fosse horizontal ou frontal, porque as rectas de intersecção deste plano com os planos teta e pi seriam, respectivamente, fronto-horizontal e horizontal ou frontal.Se tivessem optado por um plano vertical ou de topo, as rectas de intersecção seriam respectivamente, passante e oblíqua; se o plano auxiliar fosse de perfil, as rectas seriam passante de perfil e de perfil, mas o ponto de intersecção entre ambas teria de ser determinado em rebatimento (ou por outro método geométrico auxiliar), o que dava, obviamente, mais trabalho...Em qualquer dos casos, o plano auxiliar nunca poderia ser desenhado sem conter um ponto do plano passante (de preferência, o P)

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, alfa e beta.

Dados:
– o traço frontal do plano αlfa intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano beta contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).

Observação: Em minha opinião, os pontos de intersecção entre o eixo x e os dois planos poderiam não estar tão afastados ou então os ângulos dos seus traços com o eixo x poderiam ser diferentes, de modo a que não houvesse necessidade de acumular tantos traçados para conseguir que o segmento de recta pedido se situasse totalmente no primeiro diedro. Tirando este aspecto, é um exercício trabalhoso e cuja resolução ocupa demasiado espaço, como já disse, embora simples.

EXERCÍCIO 3

Determine as projecções do Triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta, sabendo que:

- O traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (a.p.e.) com o eixo x
- O triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- O ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices

Considerando que este triângulo é a base de uma pirâmide regular com 8cm de altura, situada no primeiro diedro, desenha as suas projecções com um traçado adequado.

Observação: E finalmente sairam sólidos de base oblíqua, já não era sem tempo - desde 2006 que andava a avisar os alunos desta possibilidade... Outro exercício trabalhoso e demasiado grande...

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados:
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.

Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma

Observação: Não sei de que espaço necessitaria a resolução deste exercício se não tivesse sido utilizado o "método dos cortes", mas mesmo neste caso, ficou demasiado grande! Dada a posição dos prismas e a forma como foram dados pelo enunciado, um aluno naturalmente rebateria tanto o plano coordenado horizontal como o plano coordenado frontal, mas o exercício poderia ter sido resolvido sem necessidade de proceder a este duplo rebatimento.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2009 - 1ª FASE

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 22 de Junho de 2009 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

 

Boa noite a todos. Espero que o exame vos tenha corrido bem.
E por falar em correr bem, digam lá, este exame não foi assim muito difícil...
Vou-vos dizer porque é que esta é a minha opinião...

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos αlfa e beta, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

– os traços do plano αlfa intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano beta é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

Observação: Este era, em minha opinião, o único exercício que poderia ser um pouco mais complicado, pelo facto de os planos oblíquos se intersectarem no eixo x (significando que a recta de intersecção entre ambos será passante).Aqui, utilizei um plano auxiliar frontal, passando pelo ponto B e que intersectou o plano alfa segundo a recta a (frontal e com a2 paralelo a f alfa) e intersectou o plano beta segundo a recta c (também frontal, intersectando h beta no ponto Hc de cota nula - se quiséssemos desenhar f beta, este seria paralelo a c2, passando pelo ponto em que os dois planos se cruzam. A recta c é definida pelo ponto B e por este traço horizontal).Quando as duas rectas se intersectam, temos o ponto I que pertencerá aos dois planos, assim como à recta de intersecção i, passante, que podemos desenhar com traço expressivo.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.

– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Observação: No 10º ano, os alunos são "massacrados" com as rectas obliquas e paralelas aos planos bissectores, que são depois estudadas em pormenor no início do 11º ano... Se fazem parte deste grupo, ainda bem - o problema é se não (mas mesmo isso podia-se resolver se desenhassem uma recta passante do beta 2,4 (de projecções coincidentes) e depois uma paralela a essa recta, passando por um ponto de cota diferente do afastamento - iam verificar que r2 e r1 tinham de ser paralelas entre si).

As duas rectas dadas eram paralelas ao beta 24, razão pela qual as projecções da recta r eram paralelas entre si, o mesmo acontecendo com as projecções da recta s.Para determinar o ângulo que as duas fazem, basta determinarmos um dos traços do plano (de rampa) que as contém e rebater o mesmo sobre o Plano de Projecção respectivo. Aqui, o plano de rampa, as duas rectas r e s e o ponto P foram rebatidos sobre o Plano Frontal de Projecção, sendo o traço frontal do plano a charneira do rebatimento.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados:
– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem
2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

Observação: Outra vez as sombras de um cone num exame nacional (já é a 4ª), desta vez com a base frontal! O facto de o centro O pertencer ao bissector dos diedros ímpares determina que a sombra deste ponto se situa no eixo x. Para o arco de elipse correspondente à sombra projectada pela base do cone no Plano Horizontal de Projecção, convinha determinarmos a sombra de pelo menos três pontos auxiliares, além dos pontos de tangência, para obtermos um desenho mais rigoroso da curva. Deixei o desenho da circunferência e da elipse desenhadas apenas para perceberem melhor a quebra entre ambas - claro que só é necessária a linha de contono da sombra projectada que está desenhada com traço expressivo

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Observação: Neste exercício, talvez a maior dificuldade residisse no facto de podermos pensar que o único elemento que os dois prismas tinham em comum era a aresta lateral [AA'], quando, pela posição do prisma menor, poderia não ser imediatamente claro que uma das suas faces laterais pertencia à face lateral do prisma maior. Por terem as bases em verdadeira grandeza (o triângulo maior com 8cm de lado, o menor com 4cm de lado), não era necessário determinar a direcção de afinidade, bastava determinarmos graficamente o coeficiente de redução dos afastamentos dados (12cm para a base [ABC] e 3cm para a base de menor afastamento (12-9):

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2008 - 2ª FASE

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 18 de Julho de 2008 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

 

Caros visitantes do meu blogue
Espero que o exame da 2ª fase vos tenha corrido bem.
Em minha opinião, havia alguns exercícios simples (como o II e o IV), outros um pouco mais elaborados...
E vocês, o que acharam do exame?

EXERCÍCIO I

Determine as projecções da recta b paralela ao plano αlfa e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

Dados:
– o plano αlfa é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).

Observação: Para a determinação da recta pedida, era necessário definir uma outra recta pertencente ao plano oblíquo dado e ao beta 2,4 (esta recta é, necessariamente, passante, com as projecções coincidentes e tem de conter pelo menos dois pontos do plano, também com as projecções coincidentes). Nesta proposta de resolução, a recta i foi definida pelo ponto I da recta oblíqua r e pelo ponto I', da recta passante s). Podiam ter sido determinados os traços do plano oblíquo, mas não eram necessários.

EXERCÍCIO II

Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projecção.

Dados:
– o plano θ é definido pela recta d, uma recta de maior declive que contém o ponto P (0; 4; 2);
– a projecção horizontal da recta d faz um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

Observação: Para o resolver, era necessário determinar a recta de intersecção entre o PFP e o plano oblíquo (recta i, frontal), depois desenhar um plano perpendicular a essa recta (plano beta, de topo) e determinar a intersecção deste com os dois planos dados (recta a e recta b, respectivamente, frontal e oblíqua). O ângulo pedido era o ângulo entre estas duas rectas. O plano de topo que as contém deveria ser rebatido sobre o PHP ou sobre o PFP (como é o caso desta proposta).

EXERCÍCIO III

Represente pelas suas projecções uma pirâmide pentagonal oblíqua com base contida no plano horizontal de projecção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine as projecções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

Dados:
– a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;
– a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;
– o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;
– o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.

Observação: A determinação da secção na pirâmide pelo plano secante poderia ter sido obtida por outro processo que não recorrendo à terceira projecção, como aqui. Em minha opinião, apesar de um pouco mais trabalhoso, este tipo de resolução é visualmente mais interessante e de melhor compreensão. A figura de secção apresenta algumas invisibilidades na projecção frontal, porque três das suas arestas são definidas por dois vértices que não são visíveis na projecção frontal (os que pertencem às arestas laterais [AV] e [BV]). Os pontos de secção não têm notação, porque tal não era exigido.

EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Cilindros:
– os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;
– o ponto O' (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura.

Observação: Veja um exercício parecido com este, aqui.


PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2008 - 1ª FASE

 

EXERCÍCIO I

Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados:
– o plano ρ tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
– a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

 

EXERCÍCIO II

Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo alfa.

Dados:
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

 

EXERCÍCIO III

Represente pelas suas projecções um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

Dados:
– as bases são horizontais;
– o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;
– a base de centro O' tem 2 de cota;
– o raio das bases mede 4 cm.

 

EXERCÍCIO IV


Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Prisma quadrangular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– as arestas das bases medem 3 cm;
– uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
– os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.
Cubo:
– a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
– os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2007 - 2ª FASE

 

EXERCÍCIO I

Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano α.
Dados
Plano α:
– o plano α contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h;
– a recta h tem 8 de cota, faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
Plano β:
– o plano β contém os pontos P (0; 2; 4) e R (–5; 0; 0).

 

EXERCÍCIO II


Represente, pelas suas projecções, horizontal e frontal, o rectângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.
Dados
– o traço horizontal hδ do plano de rampa tem 6 de afastamento;
– o vértice A pertence ao plano frontal de projecção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
– o lado [AB] faz, com o traço frontal do plano δ, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do rectângulo;
– os lados medem 3 cm e 6 cm.

 

EXERCÍCIO III

III. Represente, em dupla projecção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)
Dados
– o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;
– o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;
– o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.

 

EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica ortogonal da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico:
– trimetria:
as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
– o ângulo formado pelos eixos x e z é de 105°;
– o ângulo formado pelos eixos y e z é de 120°.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2007 - 1ª FASE

 

EXERCÍCIO I

Determine o ponto de intersecção, I, da recta horizontal n com o plano de rampa ρ.
Dados
– o plano ρ é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela recta a;
– a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
– a recta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

 

EXERCÍCIO II

Represente pelas suas projecções um quadrado com uma circunferência inscrita, existentes ambos no plano vertical α, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine rigorosamente, nas projecções da circunferência, os seus pontos de maior e de menor cota (A e B), mais à esquerda e mais à direita (E e D), e os seus pontos de tangência com os lados do quadrado (P, Q, R e S).
Dados
– o plano α intersecta o eixo x no ponto de abcissa –2 e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
– o centro, M, do quadrado tem 4 de afastamento e pertence ao β1,3;
– as diagonais medem 7 cm; uma é horizontal e a outra é vertical.


EXERCÍCIO III

Determine as projecções da secção produzida pelo plano de topo β num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda.
Preencha a tracejado a projecção horizontal da secção, e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da parte do sólido que foi posta em destaque.
Dados
– as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
– o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
– as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
– os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
– o plano β contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.


EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.


Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.
Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz, respectivamente, ângulos de 150° e de 120° com os eixos axonométricos x e z;
– as projectantes fazem ângulos de 55° com o plano axonométrico.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2006 - 2ª FASE

 

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PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2006 - 1ª FASE

 

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