• PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A

• PLANIFICAÇÃO ANUAL PARA GEOMETRIA DESCRITIVA A - 10º ano de escolaridade

• PLANIFICAÇÃO ANUAL PARA GEOMETRIA DESCRITIVA A - 11º ano de escolaridade

• PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA B

• SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 10º ANO

• SOBRE O PROGRAMA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A NO ENSINO SECUNDÁRIO - 11º ANO

• CONSELHOS PARA OS ALUNOS

• ESTRUTURA DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA (Código 708)

• EXERCÍCIOS DE PREPARAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 1 DO EXAME NACIONAL

• EXERCÍCIOS DE PREPARAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 2 DO EXAME NACIONAL (EM CONSTRUÇÃO)

• EXERCÍCIOS DE PREPARAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 2 DO EXAME NACIONAL (EM CONSTRUÇÃO)

• EXERCÍCIOS DE PREPARAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 2 DO EXAME NACIONAL (EM CONSTRUÇÃO)

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2011 - 2ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2011 - 1ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2010 - 2ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2010 - 1ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2009 - 2ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2009 - 1ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2008 - 2ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2008 - 1ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2007 - 2ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2007 - 1ª FASE

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2006 - 2ª FASE (EM CONSTRUÇÃO)

• EXAME NACIONAL DE GD-A (Código 708) DE 2006 - 1ª FASE (EM CONSTRUÇÃO)

CONSELHOS PARA A PREPARAÇÃO PARA O EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA (Código 708)

Para se preparar para o Exame nacional de Geometria Descritiva A (Código 708), aconselho-o/a a atender ao seguinte:

Consulte as INFORMAÇÕES PUBLICADAS PELO GABINETE DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL sobre o exame que se realizará em 2011 e o PROGRAMA DA DISCIPLINA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A, com a listagem dos conteúdos programáticos leccionados no Ensino Secundário.

Ainda não foi publicado o calendário dos Exames Nacionais, mas adianto desde já que o Exame nacional de Geometria Descritiva de 2011 tem a duração de 2h30 (150 minutos), podendo o/a aluno/a, se quiser, usufruir de mais 30 minutos para o concluir.

No final do dia de realização de cada um dos exames, publicarei, nesta página, a minha proposta de resolução.

É aconselhável que o/ aluno/a programe o seu estudo com bastante antecedência, separando os conteúdos a estudar por temas e abordando-os de forma sequencial, insistindo mais naqueles em que tiver mais dificuldades.

Salienta-se - e partindo sempre do princípio de que os pressupostos teóricos que definem esta ciência foram solidamente compreendidos pelo/a aluno/a - que a única forma eficiente de estudar para esta disciplina depreende sempre a prática frequente e regular de exercícios de aplicação (quantos mais melhor, e se possível, de proveniências diferentes - mas privilegiando, sempre, os exercícios de exame nacional ou de grau de dificuldade semelhante) e consultando as soluções de cada um apenas no final, para comparar processos de resolução e raciocínios utilizados. Seja qual for o processo de resolução utilizado, o resultado obtido será sempre o mesmo.

Se consegue, sozinho/a (e sem olhar para as soluções) resolver correctamente todos estes exercícios de exame nacional , todos os exercícios que foram dados durante as aulas e em fichas de trabalho e todos os exercícios dos testes de avaliação, então estará bem preparado para o exame nacional - eu sei que parece demasiado, mas pelo menos os de exame nacional é que não podem falhar - se ainda não começou, convém começar a resolver estes exercícios, todos os dias, e tão cedo quanto possível (e o período das férias da Páscoa é o ideal).

Para além de toda a matéria abordada durante o 11º ano de escolaridade, deve (re)estudar também toda a matéria do ano de escolaridade anterior e resolver (especialmente para o exercício I), os exercícios relativos a Pontos e Rectas Pertencentes a Planos Oblíquos ou de Rampa (sem esquecer de estudar as rectas de maior declive e de maior inclinação e a determinação dos traços do plano, que, obviamente, também são rectas do plano) e ainda os exercícios relativos a Intersecções (de planos e de uma recta com um plano).

Aconselho a resolução dos exames nacionais de códigos:
- 109 (todos os exercícios, excepto o último)
- 409 (todos os exercícios)
- 408 (todos os exercícios, excepto o 1 do Grupo II) e
- 708 (todos os exercícios)
Os enunciados destes exames podem ser consultados a partir desta página ou a partir das páginas de exercícios abaixo referidas:

SISTEMA DIÉDRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PASSO-A-PASSO

SISTEMA DIÉDRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

SISTEMA AXONOMÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PASSO-A-PASSO (em construção)

SISTEMA AXONOMÉTRICO - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Relembro que poderá, eventualmente, esclarecer determinados conteúdos do programa da disciplina a partir das páginas a seguir indicadas, consultáveis a partir da coluna GEOMETRIA DESCRITIVA deste site:

SISTEMA DIÉDRICO EM MOVIMENTO:

PONTOS E RECTAS

PONTOS, RECTAS E PLANOS

INTERSECÇÕES

MÉTODOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES (em construção)

PARALELISMO (em construção)

PERPENDICULARIDADE (em construção)

DISTÂNCIAS

ÂNGULOS

FIGURAS PLANAS

SÓLIDOS

SECÇÕES PRODUZIDAS EM SÓLIDOS

SOMBRAS DE SÓLIDOS (em construção)

SISTEMA AXONOMÉTRICO EM MOVIMENTO:

AXONOMETRIAS ORTOGONAIS

AXONOMETRIAS CLINOGONAIS

Entretanto, e se precisar, estarei contactável a partir deste ENDEREÇO DE E-MAIL. Obrigada pela visita. Bom estudo e boa sorte para o Exame!

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva a 06 de Junho de 2008 e a 30 de Maio de 2009 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

Baseando-nos nas informações publicadas pelo GABINETE DE AVALIAÇÃO EDUCACIONAL sobre o Exame Nacional 708 e no PROGRAMA DA DISCIPLINA DE GEOMETRIA DESCRITIVA A, podemos concluir que a prova obedecerá à seguinte estrutura:

Exercício 1 (um ou mais dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Pontos pertencentes ao plano;
- Rectas pertencentes ao plano;
- Traços do plano;
- Intersecção entre planos;
- Intersecção entre uma recta e um plano;
- Paralelismo;
- Perpendicularidade.

Observação: para este exercício, aconselha-se o (re)estudo de toda a matéria do ano de escolaridade anterior, incluindo os capítulos da Representação dos Traços de um Plano, de Pontos e Rectas Pertencentes ao Plano (incluindo as de Maior Declive e de Maior Inclinação), Intersecção de Planos e Intersecção entre de uma Recta com um Plano.

Exercício 2 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Distâncias
- Ângulos
- Verdadeira grandeza de figura(s) plana(s) pertencente(s) a um plano (Vertical, de topo, de perfil, oblíquo, passante ou de rampa)

Exercício 3 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Diédrica):
- Sólido regular de base(s) vertical(ais), de topo, de perfil, oblíqua(s), de rampa ou passante(s)
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) projectante(s) ou não projectante(s) e determinação da sua sombra, considerando a direcção luminosa convencional
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) horizontal, frontal ou de perfil e determinação da secção produzida por um plano secante qualquer
- Sólido recto ou oblíquo (pirâmide, prisma, cilindro ou cone) de base(s) projectante ou não-projectante e determinação da secção produzida por um plano secante horizontal, frontal ou de perfil

Exercício 4 (um dos seguintes conteúdos do Sistema de Representação Axonométrica):
- Axonometria ortogonal de um sólido simples ou composto
- Axonometria clinogonal de um sólido simples ou composto
(em qualquer um destes casos, este sólido já não é dado em Representação Tríédrica, de acordo com ESTA INFORMAÇÃO DO GAVE).

 

Para se preparar para o Exercício 1 do Exame Nacional de Geometria Descritiva A, poderá resolver os exercícios seguintes de exame nacional (das disciplinas de DGD-B e GD-A), relativos a cada um dos conteúdos descritos acima. Poderá encontrar as soluções destes exercícios (e de outros exercícios) aqui.

PONTOS PERTENCENTES AO PLANO

1.

Determine as projecções do ponto P contido no plano oblíquo beta.

- O plano oblíquo beta é definido por um ponto X e pela recta horizontal (de nível) h;
- O ponto X pertence ao eixo x e tem 2 de abcissa;
- A recta horizontal (de nível) n contém o ponto A (O; 4; 6) e faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- O ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota

Exame Nacional de 2000 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-12 desta página

 

2.

Determine o ponto Q, pertencente ao plano oblíquo beta.

- o plano oblíquo beta é definido pelo ponto X, do eixo x, com -4 de abcissa, e por uma recta horizontal (de nível) n;
- a recta n contém o ponto A (2; 4; 3) e a sua projecção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita;
- o ponto Q pertence ao Bissector dos Diedros Ímpares e tem 6 de cota

Exame Nacional de 2001 2ª fase (DGD-B) / exercício DP-14 desta página

 

3.

Determine as projecções do ponto I do plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo traço horizontal do plano beta;
- o traço horizontal de beta faz um Ângulo de 45º (com abertura para a direita) com o eixo x, intersectando-o num ponto X, com 7 de abcissa;
- o ponto I pertence ao bissector dos diedros pares e tem 2 de abcissa.

Exame Nacional de 2002 2ª fase (DGD-B) / exercício DP-18 desta página

 

4.

Determine as projecções do ponto I, pertencente ao plano oblíquo alfa

- o plano alfa é definido pela recta de frente f e pelo ponto X (-5; 0; 0);
- a recta f contém o ponto A (5; -8; 4) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- o ponto I tem -2 de afastamento e 2 de cota.

Exame Nacional de 2002 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-19 desta página

 

5.

Determine as projecções do ponto Q, contido no plano oblíquo beta

- o plano beta contém a recta r, definida pelos pontos H (5; -4; 0) e P (0; 1; 2);
- o traço frontal do plano beta faz um ângulo de 60° (de abertura para a direita) com o eixo x;
- o ponto Q é um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 5 de cota

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-20 desta página

 

6.

Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo alfa

- o plano alfa contém o ponto A (-2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;
- o traço frontal do plano alfa faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a esquerda);
- o ponto P pertence ao plano horizontal de projecção e tem 3 de afastamento

Exame Nacional de 2005 1ª Fase (DGD-B) / exercício DP-26 desta página

 

7.

Determine as projecções do ponto P, contido no plano oblíquo beta.

- O plano beta contém a recta frontal f;
- A recta f contém o ponto A, com 2 de abcissa e 3 de afastamento, pertencente ao plano bissector dos diedros ímpares
- A projecção frontal da recta f faz um Ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a esquerda);
- Os traços do plano beta intersectam-se num ponto com – 4 de abcissa;
- O ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares

Exame Nacional de 2006 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-29 desta página

 

RECTAS PERTENCENTES AO PLANO

1.

Determine as projecções de uma recta horizontal (de nível) n pertencente a um plano oblíquo alfa

- O plano alfa contém uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (7; 5; 6) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção;
- O plano intersecta o eixo x num ponto X, com abcissa -4;
- A recta horizontal tem 2 de cota.

Exame Nacional de 1997 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-8 desta página

 

2.

Determine as projecções de uma recta frontal f contida num plano oblíquo beta:

- O plano oblíquo beta contém o ponto P (6; 1; -6) e uma recta horizontal (de nível) n;
- A recta horizontal faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita, intersectando-o no ponto V, com abcissa nula e 4 de cota;
- A recta frontal (de frente) f tem 3 de afastamento.

Exame Nacional de 1998 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-10 desta página

 

3.

Determine as projecções da recta horizontal (de nível) n do plano oblíquo alfa

- o plano oblíquo alfa contém uma recta r;
- a recta r é definida pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo ponto B, com 4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao Plano Bissector dos Diedros Pares;
- o traço frontal do plano alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda;
- a recta horizontal (de nível) n contém o ponto A.

Exame Nacional de 2001 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-13 desta página

 

4.

Determine as projecções da recta n, contida no plano oblíquo alfa.

- o plano alfa é definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela recta r;
- a recta r contém os pontos B (0; 5; -5) e C (-4; -4; 4);
- a recta n é horizontal e é concorrente com a recta r no ponto C.

Exame Nacional de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-16 desta página

 

5.

Determine as projecções da recta r, contida no plano oblíquo alfa.

- os traços do plano alfa intersectam-se num ponto com 4 de abcissa e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda
- a recta r contém o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;
- a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 60º com o eixo x (abertura para a direita).

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-21 desta página

 

6.

Determine as projecções da recta d, contida no plano oblíquo beta.

- O plano oblíquo beta contém um ponto do eixo x com 2 de abcissa;
- O traço frontal do plano beta faz um Ângulo de 40° com o eixo x (de abertura para a direita);
- A recta d contém o ponto P (-6; 3; 4) e é uma das rectas de maior declive do plano beta.

Exame Nacional de 2003 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-23 desta página

 

7.

Determine as projecções da recta horizontal r, contida no plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pelos pontos F (3; 0; 5), H (3; 2; 0) e P;
- o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares
- a recta r intersecta o plano frontal de projecção num ponto, F, com 2 de abcissa.

Exame Nacional de 2004 - 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-25 desta página

 

8.

Determine as projecções da recta a, contida no plano oblíquo beta.

- o plano beta contém o ponto P (-3; -4; 5);
- o traço horizontal do plano beta faz um ângulo de 45º com o eixo x (abertura para a esquerda) e intersecta o mesmo eixo num ponto com - 6 de abcissa;
- o traço horizontal da recta a tem 6 de afastamento, e o traço frontal tem 7 de cota.

Exame Nacional de 2005 - 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-27 desta página

 

9.

Determine as projecções da recta frontal f, contida no plano oblíquo alfa.

- o plano alfa contém a recta horizontal h e o ponto A, com - 4 de abcissa e 7 de cota, pertencente ao plano frontal de projecção;
- a recta h contém o ponto B (-2; 1; 3), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita);
- o traço horizontal, H, da recta frontal f tem 6 de abcissa.

Exame Nacional de 2006 - 1ª Fase (DGD-B) / exercício DP-28 desta página

 

10.

Represente, pelas suas projecções, a recta oblíqua r, contida no plano de rampa alfa.

O plano de rampa alfa contém o ponto P (6; 3; 4) e o seu traço horizontal tem 9 de afastamento;
O traço frontal da recta r tem abcissa -4;
A projecção horizontal da recta r faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura para a direita.

Exame de 1999 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-31 desta página

 

TRAÇOS DO PLANO

1.

Determine os traços, nos Planos de Projecção, de um plano oblíquo alfa, definido por um ponto A e por uma recta de perfil p.

- A (4; 2; 8)
- A Recta de perfil p contém os pontos B (O; -2; 8) e C (O; 8; -2)

Exame Nacional de 1997- 2ª Fase (DGD-B) / exercício DP-9 desta página

 

2.

Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo alfa que contém as duas rectas r e s.

- As rectas são concorrentes no ponto Q, de abcissa nula, pertencente ao eixo x;
- A recta r contém o ponto R (2; -2; 2);
- A recta s contém o ponto S (9; 3; 3).

Exame Nacional de 1999 Prova Modelo (DGD-B) / exercício DP-11 desta página

 

3.

Determine os traços, horizontal e frontal, do plano oblíquo delta.

- o plano oblíquo delta é definido pelo ponto A (4; 2; 8) e pela recta de perfil p;
- a recta de perfil p contém o ponto B (0; -2; 8) e o ponto C, que tem 8 de afastamento e -2 de cota.

Exame Nacional de 2002 Prova Modelo (DGD-B) / exercício DP-15 desta página

 

4.

Determine os traços, nos planos de projecção, do plano oblíquo alfa.

- o plano oblíquo alfa é definido por três pontos, A, B e C
- os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros ímpares
- A tem - 4 de abcissa e 4 de afastamento
- B tem abcissa nula e - 4 de cota
- o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem 4 de abcissa e 4 de cota.

Exame Nacional de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-17 desta página

 

5.

Determine os traços do plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (-3; 2; 3);
- a recta f contém o ponto B (-7; 5; -5), e a sua projecção frontal, f2, faz um Ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda

Exame Nacional de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício DP-22 desta página

 

6.

Determine os traços do plano oblíquo alfa.

- o plano alfa contém as rectas r e s, concorrentes no ponto N (7; 0; 0)
- a recta r contém o ponto R (0; 3; 4)
- o ponto S (0; 6; 2) pertence à recta s.

Exame Nacional de 2004 - 1ª Fase (DGD-B) / exercício DP-24 desta página

 

7.

Determine os traços, nos Planos de projecção, do Plano de rampa ró, que contém a recta oblíqua r.

A recta r passa pelo ponto A (-5; 2; 12)
A projecção horizontal da recta faz um ângulo de 45º com o eixo x, com abertura para a esquerda;
A recta r intersecta o Plano Bissector dos Diedros Ímpares no ponto Q, do Terceiro Diedro, com cota –8.

Exame de 1998 - Prova Modelo (DGD-B) / exercício DP-30 desta página

 

INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS

1.

Determine as projecções da recta i de intersecção de um plano de rampa alfa com um plano horizontal (de nível) niú.

- o traço frontal do plano de rampa alfa tem cota 8
- o plano de rampa alfa contém a ponto A (3; 3; 4)
- o plano horizontal (de nível) niú contém o ponto B (O; 9; 6).

Exame de 1997 Prova Modelo (DGD-B) / exercício D-IP13 desta página

 

2.

Determine a recta de intersecção i dos planos de rampa alfa e beta

- o traço horizontal do plano alfa tem 4 de afastamento, e o seu traço frontal tem 5 de cota;
- o plano beta é definido pelo seu traço horizontal, que tem 6 de afastamento e pelo ponto B (O; 3; 2).

Exame de 1999 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IP14 desta página

 

3.

Determine a recta de intersecção i do plano de topo pi com o plano oblíquo alfa.

- o plano de topo pi intersecta o eixo x no ponto de abcissa -5 e faz, com o Plano Horizontal de Projecção, um diedro de 60º, de abertura para a direita;
- o plano oblíquo alfa é definido por uma recta de perfil p e pelo ponto C (O; 3; 3)
- a recta de perfil p contém os pontos A (-8; 8; 3) e B (-8; 3; 8)

Exame de 2000 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IP15 desta página

 

4.

Determine a recta de intersecção i dos dois planos alfa e beta.

- o plano alfa é de rampa e é definido pelo seu traço frontal, que tem 3 de cota, e por uma recta a, fronto-horizontal, que tem 4 de afastamento e 1 de cota;
- o plano beta é de topo e faz um diedro de 30º (abertura para a direita, no 1º diedro) com o plano horizontal de projecção.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IP16 desta página

 

5.

Determine as projecções da recta de intersecção i dos planos oblíquos alfa e beta.

- os traços do plano alfa são concorrentes num ponto N, com 0 de abcissa, e fazem ambos ângulos de 45º com o eixo x: o traço horizontal com abertura para a esquerda, e o traço frontal com abertura para a direita;
- o plano beta é definido pelo ponto X (-7; 0; 0) e pela recta r;
- a projecção horizontal r1 da recta r coincide com o traço horizontal do plano alfa
- o traço horizontal da recta r tem 5 cm de afastamento
- o traço frontal da recta r tem 5 cm de cota

Exame de 2002 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IP17 desta página

 

6.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano oblíquo alfa com o plano de rampa teta

- os traços do plano alfa cruzam-se num ponto com abcissa nula e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;
- o plano teta é definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;
- a recta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;
- a recta b contem o ponto B (-5; 4; 3)

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IP18 desta página

 

7.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano beta com o plano alfa.

- o plano beta é horizontal e contém um ponto A (-5; 3; 7);
- o plano alfa é oblíquo e contem o ponto B (5; 2; 3);
- o traço horizontal do plano alfa cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com a mesma, um ângulo de 45º (abertura para a direita).

Exame de 2003 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IP19 desta página

 

8.

Determine as projecções da recta i de intersecção do plano vertical beta com o plano de rampa alfa.

- O traço horizontal do plano beta faz um Ângulo de 45º com o eixo x (de abertura para a direita) e Intersecta o mesmo eixo no ponto de abcissa nula;
- O plano de rampa alfa contém os pontos A (1; 4; 2) e B (-3; I; 6).

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IP20 desta página

 

9.

Determine as projecções da recta i, de intersecção do plano vertical delta com o plano oblíquo beta.

- o plano vertical contém o ponto A (2; 2; 3), e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- os traços do plano oblíquo beta intersectam-se num ponto com -4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano beta faz um Ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda; o traço frontal do plano beta faz um Ângulo de 45º com o mesmo eixo, de abertura para a direita.

Exame de 2004 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IP21 desta página

 

10.

Determine as projecções da recta i, de intersecção dos planos oblíquos beta e ómega.

- o plano beta é definido pelas rectas paralelas r e s;
- a recta r contém os pontos R (0; 1 ; 5) e S (1 ; 2; 3)
- a recta s contém o ponto T (4; 1 ; 2)
- os traços do plano ómega intersectam-se num ponto com -8 de abcissa: o traço horizontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, e o traço frontal faz um ângulo de 60° com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda)

Exame de 2006 1ª Fase (GD-A) / exercício D-IP22 desta página

 

11.

Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos αlfa e beta, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

– os traços do plano αlfa intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano beta é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

Exame de 2009 1ª Fase (GD-A) / exercício D-IP23 desta página

 

12.

Determine as projecções da recta de intersecção, i, do plano oblíquo pí com o plano passante θ.

– o plano pí intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano pí fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).

Exame de 2009 2ª fase (GD-A) / exercício D-IP24 desta página

 

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

1.

Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo alfa.

- a recta n contém o ponto P (5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projecção;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto X do eixo x, com abcissa -5, e uma recta frontal (de frente) f, que passa pelo ponto S (-4; 2; 3) e que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção.

Exame de 1998 - 1ª Fase, 2ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR1 desta página

 

2.

Determine o ponto de intersecção I da recta vertical v com o plano de rampa ró.

- a recta v contém o ponto P (2; -2; 7);
- o plano de rampa ró é definido pelo ponto A (-2; 2; 3) e pelo seu traço horizontal, que tem 4 de afastamento

Exame de 2000 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR2 desta página

 

3.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r é uma recta oblíqua passante, que contém o ponto A (-2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, e intersecta-o num ponto X, com abcissa -4;
- o plano alfa contém um ponto P, do Plano Frontal de Projecção, com 2 de abcissa e 9 de cota.

Exame de 1997 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR3 desta página

 

4.

Determine o ponto de intersecção I da recta de topo t com o plano oblíquo alfa.

- a recta t contém o ponto P, com 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao Bissector dos Diedros Ímpares;
- o traço frontal do plano oblíquo alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura à esquerda, intersectando-o num ponto X, com 4 de abcissa;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto A (- 4; 3; 2).

Exame de 1999 1ª Fase - 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR4 desta página

 

5.

Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto F (-2; 0; 5);
- as projecções da recta r fazem ambas, com o eixo x, ângulos de 30º, a projecção horizontal com abertura para a direita, e a projecção frontal com abertura para a esquerda;
- o plano oblíquo alfa está definido pelos seus traços nos planos de projecção e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 30º, com abertura para a direita, e o traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º, com abertura para a esquerda.

Exame de 2001 1ª Fase - 2ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR5 desta página

 

6.

Determine o ponto de intersecção I da recta frontal f com o plano de rampa ró.

- a recta f contem o ponto P (2; 4; 6) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projecção;
- o traço frontal do plano de rampa ró tem 3 de cota;
- o plano contém um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

Exame de 2002 Prova Modelo (DGD-B) / exercício D-IR6 desta página

 

7.

Determine o ponto de intersecção I da recta obliqua r com o plano de rampa pi.

- a recta oblíqua r contém o ponto A (4; 4; 2) e intersecta o Plano Frontal de Projecção num ponto F, com abcissa nula, e as suas projecções são paralelas;
- o plano de rampa pi contem o ponto H (2; -9; 0) e tem os traços coincidentes.

Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR7 desta página

 

8.

Determine o ponto de intersecção I da recta de nível n com o plano oblíquo alfa

- a recta n é definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o plano alfa é definido pela recta de maior declive d;
- a recta d é definida pelos pontos H e F, que são os seus traços nos planos de projecção;
- o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;
- o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.

Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR8 desta página

 

9.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta h com o plano de rampa teta

- a recta h é horizontal, contem o ponto A (2; 1; 3) e faz um Ângulo de 30º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda, no 1º diedro;
- o plano teta contem o ponto P (7; 3; 2), e o seu traço frontal tem 5 de cota

Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (DGD-B) / exercício D-IR9 desta página

10.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta v com o plano de rampa teta.
                            
- a recta v é vertical e contém o ponto A (2; 3; 1);
- o plano teta contém um ponto P (-2; 2; 4) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento.

Exame de 2003 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IR10 desta página

 

11.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta frontal f com o plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6)
- a recta a contém o ponto H (3; 3; 0) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- a recta f contém o ponto P (-4; 4; 2) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda.

Exame de 2004 - 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IR11 desta página

 

12.

Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano obliquo beta com a recta t

- o plano contém o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (-1; 6; 2);
- a recta t é de topo, tem -3 de abcissa e 4 de cota.

Exame de 2005 1ª Fase (DGD-B) / exercício D-IR12 desta página

 

13.

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta obliqua r com o plano obliquo beta.

- a recta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
- os traços do plano beta intersectam o eixo x num ponto com -2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

Exame de 2005 – 2ª Fase (DGD-B) / exercício D-IR13 desta página

 

14.

Determine as projecções do ponto I, de intersecção da recta obliqua r com o plano de rampa teta.

- a recta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
- os traços horizontal e frontal do plano de rampa teta têm, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota

Exame de 2006 2ª fase (DGD-B) / exercício D-IR14 desta página

 

15.

Determine o ponto de intersecção I, da recta horizontal n com o plano de rampa ró.
- o plano ró é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela recta a;
- a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
- a recta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

Exame de 2007 - 1ª Fase (GD-A) / exercício D-IR15 desta página

16.

Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ró.

- o plano ró tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
- a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

Exame de 2008 1ª fase (GD-A) / exercício D-IR16 desta página

 

PARALELISMO

1.

Determine as projecções da recta b paralela ao plano αlfa e ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

– o plano αlfa é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
– o ponto H, traço horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
– a recta s é passante e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– a recta b contém o ponto B (–5; 3; 2).

Exame de 2008, 2ª fase (GD-A) / exercício D-PL10 desta página

 

2.

Determine os traços do plano pí que contém o ponto P e é paralelo ao plano alfa.

– o plano alfa é definido pelas rectas a e b;
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3);
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente;
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
– o plano pí contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

Exame de 2010, 2ª fase (GD-A) / exercício D-PL11 desta página

 

PERPENDICULARIDADE

1.

Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano alfa.

- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

Exame de 2006, 2ª fase (GD-A) / exercício D-PP7 desta página

 

2.

Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.

- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

Exame de 2007, 2ª fase (GD-A) / exercício D-PP8 desta página

 

3.

Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Exame de 2010, 1ª fase (GD-A) / exercício D-PP9 desta página

(EM CONSTRUÇÃO)

(EM CONSTRUÇÃO)

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2011 - 2ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

EXERCÍCIO 2

EXERCÍCIO 3

EXERCÍCIO 4

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2011 - 1ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame que decorreu durante o dia de hoje.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções do ponto I, traço da recta b, no plano bissector dos diedros pares.

- a recta b é paralela ao plano delta

- a recta b contém o ponto P (-7; 7; -2)

- a projecção horizontal da recta b faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x

- o plano delta está definido pelos pontos R (3, 6; 3), S (0; 6; 5) e T (-3; 1: 5).

Comentário: para definir o traço de uma recta no bissector dos diedros pares, há que definir as projecções da recta e determinar o ponto em que estas se intersectam, que será, precisamente, o ponto procurado. O "problema" deste exercício era, precisamente, o de definir a projecção frontal da recta b, uma vez que a horizontal era-nos dada. Sendo a recta b paralela ao plano delta, bastar-nos-á determinar uma recta desse plano que lhe seja paralela. Neste proposta de resolução, optei por desenhar uma recta do plano delta (recta h, definida pelos pontos T e S) e desenhar, a partir do ponto R, uma recta com a projecção horizontal paralela à projecção horizontal da recta b (a projecção frontal da recta r será definida mediante a determinação do ponto A, de intersecção desta recta com a recta h anteriormente desenhada). Depois de desenharmos r2, bastar-nos-á definir a projecção frontal da recta b, passando pela projecção frontal do ponto P e definir então o ponto I da recta.

Havendo, obviamente, outras hipóteses de resolução, não considero que este exercício seja de grande dificuldade, senão pelo facto de conjugar as condições de pertença/incidência de uma recta num plano com conceitos básicos do paralelismo entre rectas e planos e de intersecção de uma recta com o bissector dos diedos pares, factores que o tornam, precisamente, num exercício mais interessante do que outro que não articule tantos conhecimentos do programa. Não esquecer que, para qualquer ponto representado e independentemente da localização das suas projecções em relação ao eixo x, nunca deve ser omitida (ou esquecida) a definição da sua linha de chamada, sob pena de contrariarmos as convenções gráficas aplicáveis.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas a e p.

- as rectas a e p são concorrentes no ponto C (0; 4; 5)

. o ponto F, traço frontal da recta a, tem 8 de abcissa e -3 de cota

- a recta p é de perfil

- o ponto H, traço horizontal da recta p, tem 8 de afastamento.

Comentário: sendo as duas rectas concorrentes, bastará rebatermos o plano oblíquo que as contém sobre um dos planos de projecção ou sobre um plano que lhes seja paralelo. na minha proposta, optei por rebater este plano sobre o plano horizontal de projecção, tendo, para o efeito, determinado o traço horizontal da recta a. Unindo este ponto ao traço horizontal da recta p, defini o traço horizontal do plano alfa, que será a charneira ou eixo do rebatimento - note-se que os traços horizontais das duas rectas, por lhe pertencerem, coincidirão com o seu rebatimento. o traço frontal do plano oblíquo foi definido, unindo o traço frontal da recta a ao ponto em que h alfa intersecta o eixo x, embora não fosse necessário. a determinação do rebatimento do ponto C foi realizada segundo o método do triângulo do rebatimento. Unido o rebatimento de C aos traços horizontais das rectas em rebatimento, estarão definidas as duas rectas a e p rebatidas, a partir das quais poderemos destacar o ângulo pedido.

Pessoalmente, não considero que este exercício pudesse apresentar grande dificuldade, até porque é bastante similar ao exercício de exame nacional de 2003 – 1ª fase 2ª chamada (DGD-A, código 408, correspondente ao ex. D-A5 desta página), o que uma vez mais comprova o quão importante é resolver todos os exercícios de exame nacional de anos anteriores... E mais uma vez, o GAVE não nos dá indicação de como deve ser destacado o ângulo pedido, pelo que optei pela apresentação mais expedita.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, um prisma triangular regular, situado no 1º diedro. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

- as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissector dos diedros ímpares

- a base [ABC] está contida no plano alfa, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x

- o ponto A (1; 3; 0) é um dos vértices da base referida

- o ponto O' (3; 10, 9) é o centro da outra base.

Comentário: este exercício poderia ser o único considerado com algum grau de dificuldade, por não ser tão evidente, à partida. Pelo facto de nos ter sido dado o centro O' da outra base, haveria, necessariamente, que definir o eixo do prisma, perpendicular ao plano de cada uma das bases e, para determinar o ponto O (centro da base [ABC]) determinar o ponto de intersecção entre este eixo e o plano alfa, que teria de ser executado com recurso ao método geral de intersecção de rectas com planos, ou seja: definir um plano que contenha a recta em causa (na minha resolução, optei por um plano de topo beta), determinar a recta i (de intersecção entre os planos beta e alfa) e definir o ponto O, na intersecção entre o eixo do prisma e a recta i. Depos de definido o ponto O, haveria que rebater o plano alfa para definir o triângulo equilátero [ABC], contrarebatê-lo e, finalmente, transportar a medida do eixo em cada projecção para as projecções homónimas das arestas laterais do prisma (sem esquecer de desenhar as linhas de chamada de todos os pontos determinados).

Neste exame (e falo, novamente, a título pessoal) este exercício acabou por ser o mais interessante, por conjugar vários conteúdos diferentes, embora sempre interligados, do programa. Admito, contudo que, por não ser tão evidente em termos de compreensão, terá sido o de resolução menos imediata e, por essa razão, mais difícil para a grande maioria dos alunos. Acrescente-se que era absolutamente desnecessário indicar que o prisma se situa no primeiro diedro, pela localização dos elementos dados.

EXERCÍCIO 4

Comentário: Pessoalmente, considero que este foi o exercício menos interessante da história da representação axonométrica nos exames nacionais das disciplinas de GD-A e de DGD-A (talvez com a óbvia excepção do Exame Nacional de 2002 – 2ª fase (DGD-A, código 408 - ex. AX-C3 desta página, com a escandalosa (para as circunstâncias actuais) cotação de 7,5 valores) e em que não existe sequer uma justaposição interessante dos dois sólidos pedidos. Não me parece que possa ter havido grande dificuldade para quem estivesse medianamente preparado para trabalhar no sistema de representação axonométrica clinogonal, já que não era necessária a representação da direcção de afinidade, mas apenas indispensável a determinação da redução dos afastamentos dados e a compreensão da posição dos dois sólidos.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2010 - 2ª FASE

Esta é a minha proposta de resolução do exame de hoje que, espero, tenha corrido bem a todos.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui, a que responderei mal me seja possível. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine os traços do plano pí que contém o ponto P e é paralelo ao plano alfa
Dados
– o plano alfa é definido pelas rectas a e b
– a recta a contém o ponto S (3; 5; 3)
– as projecções, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respectivamente
– a recta b pertence ao plano bissector dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projecção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita
– o plano π contém o ponto P (– 6; 3; – 4).

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.
Dados
– o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projecção, são coincidentes
– o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano θ é de topo, contém o ponto R (– 5; 6; 5) e faz um diedro de 60º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

EXERCÍCIO 3

Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projecção, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projecção, quer as projecções do prisma.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projecção.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.
Dados
– as bases estão contidas em planos de perfil
– os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respectivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE]
– o plano de perfil da outra base tem – 5 de abcissa
– a direcção luminosa é a convencional.

EXERCÍCIO 4

4. Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– trimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projecções dos eixos x e z, respectivamente.

Nota – Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Sólidos:
– os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

Prisma quadrangular regular
– uma base está situada no plano coordenado horizontal xy
– os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

Pirâmide triangular oblíqua de base regular
– a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento
– o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.

PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE GEOMETRIA DESCRITIVA A (Código 708) DE 2010 - 1ª FASE

Aqui têm a minha proposta de resolução do exame que decorreu hoje e que, espero, tenha corrido bem a toda a gente.

Podem deixar os vossos comentários ao exame aqui, a que responderei mal me seja possível. Obrigada pela visita e boa sorte para os resultados.

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.

Dados:
– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

Observação:

Note-se que não basta que uma recta pertença a um plano perpendicular à recta dada para lhe ser perpendicular (qualquer recta desse plano ser-lhe-á ortogonal - isto é, de direcção perpendicular à recta dada, mas não concorrente com ela). Rectas perpendiculares são, necessariamente, concorrentes, pelo que, depois de definido o plano alfa, perpendicular à recta r (com o auxílio, nesta proposta de resolução, da recta frontal f ortogonal à recta r), há que determinar o ponto em que a recta r e o plano alfa se intersectam (ponto I) para que as rectas s e r sejam, efectivamente, perpendiculares.

EXERCÍCIO 2

Determine as projecções do triângulo [LMN].

Dados:
– o triângulo está situado no 1.º diedro;
– o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
– o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projecção;
– o lado [LN] mede 8 cm;
– o ponto N é o vértice de menor cota.

Observação:

Provavelmente o maior problema deste exercício foi o facto de o enunciado não ter referido que o plano do triângulo era oblíquo (assim, com certeza que teria sido muito mais simples de compreender que o lado [LN] pertenceria a uma recta oblíqua).

Antes de definirmos o plano oblíquo, rebateu-se o plano de perfil alfa que contém a recta de perfil p, de modo a que esta pudesse ser desenhada, em rebatimento, a 50º do Plano Horizontal de Projecção, para determinação do seu traço horizontal que, unido ao traço horizontal da recta frontal f que contém [LM], nos define o traço horizontal do plano oblíquo beta. Depois de definirmos este plano (note-se que o seu traço frontal era desnecessário), é uma questão de rebater os pontos L e M e a recta p, à qual deverá pertencer o ponto L em rebatimento e, a partir daí, contra-rebater L e definir as projecções do triângulo com traço expressivo.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.
Preencha a tracejado a projecção visível da secção.

Dados:
– a base está contida num plano horizontal;
– o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
– o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].

Observação:

Já tardava a determinação da secção do cone num exame nacional... Para sorte de muitos examinandos, este caso é um dos mais simples, porque a curva obtida é uma parábola. A resolução também não será muito difícil, recorrendo, por exemplo, a planos secantes paralelos ao plano da base. Não foram atribuídas notações aos pontos de secção determinados para não sobrecarregar excessivamente o desenho.

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

Prisma hexagonal regular:
– duas faces são horizontais;
– a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento
definem uma aresta dessa face;
– uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.

Prisma quadrangular regular:
– uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
– o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento
definem a aresta de menor abcissa dessa base;
– a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.

Observação:

Este exercício era algo semelhante ao exercício 4 do exame de 2009 da 2ª fase, embora menos trabalhoso. Não era forçoso que se rebatesse o plano coordenado lateral para determinação das bases do hexágono (como podem ver neste exercício). Teria sido preferível resolver o exercício com a folha na horizontal, para não haver problemas de falta de espaço (claro que só descobrimos isto durante a realização do exame - será que seria pedir muito algum aviso, no próprio enunciado, nesse sentido? Muitas vezes o faço nos testes dos meus alunos...).

Pessoalmente, acho que o sólido resultante ficou um pouco estreito (se as faces laterais do prisma hexagonal fossem quadradas (tendo os vértices A e B, 6 de abcissa e os vértices P e Q também), o sólido teria ficado um pouco mais interessante, dada a sua semi-regularidade.

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 15 de Julho de 2009 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

Espero que o exame vos tenha corrido bem e desejo, desde já, boa sorte para os resultados.
Em minha opinião, considero que este prova era acessível e mesmo interessante, embora muito mais trabalhosa do que a da 1ª fase - os alunos que só foram a esta fase, com certeza não estariam a contar com tanto trabalho, dado que as duas provas não eram nada equivalentes.
Houve um aspecto negativo na prova: a resolução dos exercícios 2, 3 e 4 precisava de um espaço maior do que o habitual, o que pode ter prejudicado quem, à partida, teve dificuldades em enquadrar o desenho. Quem faz a prova de exame não deveria ter que se preocupar em perder tempo com esta questão, lutando contra a falta de espaço na folha...

EXERCÍCIO 1

– o plano pí intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
– os traços horizontal e frontal do plano pí fazem, respectivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
– o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6)

Observação: Este exercício não era complicado e poderia até ter uma resolução simples, se o plano auxiliar utilizado fosse horizontal ou frontal, porque as rectas de intersecção deste plano com os planos teta e pi seriam, respectivamente, fronto-horizontal e horizontal ou frontal.Se tivessem optado por um plano vertical ou de topo, as rectas de intersecção seriam respectivamente, passante e oblíqua; se o plano auxiliar fosse de perfil, as rectas seriam passante de perfil e de perfil, mas o ponto de intersecção entre ambas teria de ser determinado em rebatimento (ou por outro método geométrico auxiliar), o que dava, obviamente, mais trabalho...Em qualquer dos casos, o plano auxiliar nunca poderia ser desenhado sem conter um ponto do plano passante (de preferência, o P)

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, alfa e beta.

Dados:
– o traço frontal do plano αlfa intersecta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
– o plano beta contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).

Observação: Em minha opinião, os pontos de intersecção entre o eixo x e os dois planos poderiam não estar tão afastados ou então os ângulos dos seus traços com o eixo x poderiam ser diferentes, de modo a que não houvesse necessidade de acumular tantos traçados para conseguir que o segmento de recta pedido se situasse totalmente no primeiro diedro. Tirando este aspecto, é um exercício trabalhoso e cuja resolução ocupa demasiado espaço, como já disse, embora simples.

EXERCÍCIO 3

Determine as projecções do Triângulo equilátero [ABC], pertencente a um plano oblíquo beta, sabendo que:

- O traço horizontal do plano do triângulo faz 55º (a.p.e.) com o eixo x
- O triângulo está inscrito numa circunferência de centro em O (4; 3; 2)
- O ponto A (6; 1; 4) é um dos seus vértices

Considerando que este triângulo é a base de uma pirâmide regular com 8cm de altura, situada no primeiro diedro, desenha as suas projecções com um traçado adequado.

Observação: E finalmente sairam sólidos de base oblíqua, já não era sem tempo - desde 2006 que andava a avisar os alunos desta possibilidade... Outro exercício trabalhoso e demasiado grande...

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados:
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.

Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma

Observação: Não sei de que espaço necessitaria a resolução deste exercício se não tivesse sido utilizado o "método dos cortes", mas mesmo neste caso, ficou demasiado grande! Dada a posição dos prismas e a forma como foram dados pelo enunciado, um aluno naturalmente rebateria tanto o plano coordenado horizontal como o plano coordenado frontal, mas o exercício poderia ter sido resolvido sem necessidade de proceder a este duplo rebatimento.

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 22 de Junho de 2009 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

Boa noite a todos. Espero que o exame vos tenha corrido bem.
E por falar em correr bem, digam lá, este exame não foi assim muito difícil...
Vou-vos dizer porque é que esta é a minha opinião...

EXERCÍCIO 1

Determine as projecções da recta de intersecção, i, dos planos oblíquos αlfa e beta, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

– os traços do plano αlfa intersectam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
– o plano beta é definido pelo seu traço horizontal e pela recta b;
– o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
– a recta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).

Observação: Este era, em minha opinião, o único exercício que poderia ser um pouco mais complicado, pelo facto de os planos oblíquos se intersectarem no eixo x (significando que a recta de intersecção entre ambos será passante).Aqui, utilizei um plano auxiliar frontal, passando pelo ponto B e que intersectou o plano alfa segundo a recta a (frontal e com a2 paralelo a f alfa) e intersectou o plano beta segundo a recta c (também frontal, intersectando h beta no ponto Hc de cota nula - se quiséssemos desenhar f beta, este seria paralelo a c2, passando pelo ponto em que os dois planos se cruzam. A recta c é definida pelo ponto B e por este traço horizontal).Quando as duas rectas se intersectam, temos o ponto I que pertencerá aos dois planos, assim como à recta de intersecção i, passante, que podemos desenhar com traço expressivo.

EXERCÍCIO 2

Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.

– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Observação: No 10º ano, os alunos são "massacrados" com as rectas obliquas e paralelas aos planos bissectores, que são depois estudadas em pormenor no início do 11º ano... Se fazem parte deste grupo, ainda bem - o problema é se não (mas mesmo isso podia-se resolver se desenhassem uma recta passante do beta 2,4 (de projecções coincidentes) e depois uma paralela a essa recta, passando por um ponto de cota diferente do afastamento - iam verificar que r2 e r1 tinham de ser paralelas entre si).

As duas rectas dadas eram paralelas ao beta 24, razão pela qual as projecções da recta r eram paralelas entre si, o mesmo acontecendo com as projecções da recta s.Para determinar o ângulo que as duas fazem, basta determinarmos um dos traços do plano (de rampa) que as contém e rebater o mesmo sobre o Plano de Projecção respectivo. Aqui, o plano de rampa, as duas rectas r e s e o ponto P foram rebatidos sobre o Plano Frontal de Projecção, sendo o traço frontal do plano a charneira do rebatimento.

EXERCÍCIO 3

Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projecção, utilizando a direcção luminosa convencional.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
Nota: Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.

Dados:
– a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β1,3) e tem
2 de abcissa e 8 de afastamento;
– o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.

Observação: Outra vez as sombras de um cone num exame nacional (já é a 4ª), desta vez com a base frontal! O facto de o centro O pertencer ao bissector dos diedros ímpares determina que a sombra deste ponto se situa no eixo x. Para o arco de elipse correspondente à sombra projectada pela base do cone no Plano Horizontal de Projecção, convinha determinarmos a sombra de pelo menos três pontos auxiliares, além dos pontos de tangência, para obtermos um desenho mais rigoroso da curva. Deixei o desenho da circunferência e da elipse desenhadas apenas para perceberem melhor a quebra entre ambas - claro que só é necessária a linha de contono da sombra projectada que está desenhada com traço expressivo

EXERCÍCIO 4

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Observação: Neste exercício, talvez a maior dificuldade residisse no facto de podermos pensar que o único elemento que os dois prismas tinham em comum era a aresta lateral [AA'], quando, pela posição do prisma menor, poderia não ser imediatamente claro que uma das suas faces laterais pertencia à face lateral do prisma maior. Por terem as bases em verdadeira grandeza (o triângulo maior com 8cm de lado, o menor com 4cm de lado), não era necessário determinar a direcção de afinidade, bastava determinarmos graficamente o coeficiente de redução dos afastamentos dados (12cm para a base [ABC] e 3cm para a base de menor afastamento (12-9):

(mensagem publicada originalmente no blogue Geometria Descritiva, a 18 de Julho de 2008 e cujos comentários pode consultar AQUI, se estiver a utilizar o Internet Explorer ou AQUI, se utilizar outro browser)

Caros visitantes do meu blogue
Espero que o exame da 2ª fase vos tenha corrido bem.
Em minha opinião, havia alguns exercícios simples (como o II e o IV), outros um pouco mais elaborados...
E vocês, o que acharam do exame?

EXERCÍCIO I

Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ρ.

Dados:
– o plano ρ tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
– a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

EXERCÍCIO II

Represente pelas suas projecções o triângulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo alfa.

Dados:
– o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
– o lado [BC] pertence à recta s;
– o ponto F, traço frontal da recta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
– as projecções, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.

EXERCÍCIO III

Represente pelas suas projecções um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)

Dados:
– as bases são horizontais;
– o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;
– a base de centro O' tem 2 de cota;
– o raio das bases mede 4 cm.

EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Dados
Sistema axonométrico:
– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Prisma quadrangular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– as arestas das bases medem 3 cm;
– uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
– os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.
Cubo:
– a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
– os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

EXERCÍCIO I

Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano α.
Dados
Plano α:
– o plano α contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h;
– a recta h tem 8 de cota, faz, com o plano frontal de projecção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
Plano β:
– o plano β contém os pontos P (0; 2; 4) e R (–5; 0; 0).

EXERCÍCIO II

Represente, pelas suas projecções, horizontal e frontal, o rectângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.
Dados
– o traço horizontal hδ do plano de rampa tem 6 de afastamento;
– o vértice A pertence ao plano frontal de projecção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
– o lado [AB] faz, com o traço frontal do plano δ, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do rectângulo;
– os lados medem 3 cm e 6 cm.

EXERCÍCIO III

III. Represente, em dupla projecção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Utilizando a direcção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projecção.
Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.
Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
(Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respectivas projecções da direcção luminosa, nas áreas de sombra projectada.)
Dados
– o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;
– o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;
– o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.

EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica ortogonal da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Dados
Sistema axonométrico:
– trimetria:
as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
– o ângulo formado pelos eixos x e z é de 105°;
– o ângulo formado pelos eixos y e z é de 120°.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

EXERCÍCIO I

Determine o ponto de intersecção, I, da recta horizontal n com o plano de rampa ρ.
Dados
– o plano ρ é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela recta a;
– a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
– a recta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

EXERCÍCIO II

Represente pelas suas projecções um quadrado com uma circunferência inscrita, existentes ambos no plano vertical α, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine rigorosamente, nas projecções da circunferência, os seus pontos de maior e de menor cota (A e B), mais à esquerda e mais à direita (E e D), e os seus pontos de tangência com os lados do quadrado (P, Q, R e S).
Dados
– o plano α intersecta o eixo x no ponto de abcissa –2 e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
– o centro, M, do quadrado tem 4 de afastamento e pertence ao β1,3;
– as diagonais medem 7 cm; uma é horizontal e a outra é vertical.

EXERCÍCIO III

Determine as projecções da secção produzida pelo plano de topo β num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda.
Preencha a tracejado a projecção horizontal da secção, e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da parte do sólido que foi posta em destaque.
Dados
– as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
– o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
– as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção;
– os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
– o plano β contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projecção.

EXERCÍCIO IV

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.

Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.
Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz, respectivamente, ângulos de 150° e de 120° com os eixos axonométricos x e z;
– as projectantes fazem ângulos de 55° com o plano axonométrico.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

(a editar)

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