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CONSTRUÇÃO PASSO-A-PASSO DE PENTÁGONOS REGULARES

Cada uma das construções seguintes exibe uma barra inferior para controle dos passos da construção, bastando clicar nos botões respectivos para fazer com que esta avance ou retroceda. Os pontos azuis (circulares) das três primeiras construções são movimentáveis.

As construções desta página estão disponíveis a partir deste capítulo do Livro GeoGebra Plane Geometry (step-by-step).

CONTEÚDOS ACTIVOS DESTA PÁGINA:

Construção de um pentágono regular inscrito numa circunferência com régua e compasso - exemplo 1

Construção de um pentágono regular inscrito numa circunferência com régua e compasso - exemplo 2

Construção de um pentágono regular inscrito numa circunferência com régua e compasso - exemplo 3

Construção de um pentágono regular dado o lado

CONSTRUÇÃO DE UM PENTÁGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA - Exemplo 1 (applet no Livro GeoGebra)

Esta é a forma mais simples para construir um pentágono regular inscrito numa circunferência - sabendo que o ângulo da circunferência é de 360º (ângulo giro), basta dividir este número por 5 partes iguais, obtendo 72º. Marcando um ângulo com esta amplitude entre dois raios da circunferência. definimos uma quinta parte desta, e com o auxílio do compasso, os restantes vértices:

 

CONSTRUÇÃO DE UM PENTÁGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA - Exemplo 2 (applet no Livro GeoGebra)

Partindo dos pontos O e A, respectivamente, centro e vértice do pentágono, obteremos um pentágono regular, seguindo os seguintes passos:
1. Desenhamos a circunferência de centro em O e abertura até A.
2. Desenhamos o diâmetro que contém A e a seguir o que lhe é perpendicular e passa pelo ponto P.
3. Com centro em P e abertura até O, desenhamos um arco que, ao intersectar a circunferência, define os pontos a partir dos quais podemos desenhar a mediatriz de [OP] e definir o ponto M.
4. Com centro em M e abertura até A, desenhamos um arco que, ao intersectar o diâmetro de P, define o ponto K.
5. Com centro em A e abertura até K, desenhamos um arco que ao intersectar a circunferência, define os vértices B e E.
6. Com centro em E e abertura até A, desenhamos um arco para definir o vértice D.
7. Com centro em B e abertura até A, desenhamos um arco para definir o vértice C.
8. Unindo os vértices A, B, C, D e E, obtemos um pentágono regular inscrito numa circunferência.

 

CONSTRUÇÃO DE UM PENTÁGONO REGULAR INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA - Exemplo 3 (applet no Livro GeoGebra)

Sabendo que a corda correspondente à décima parte da circunferência é a parte áurea do raio dividido em média e extrema razão, poderemos desenhar um pentágono regular a partir da construção da secção áurea, que nos permitiria construir um decágono regular inscrito na circunferência. Note-se, na construção, que o raio da circunferência e a corda [EA] estão na proporção de ouro.

Esta construção está incluída no precioso "A Geometria ao Alcance de toda a Gente" de A. A. Ferreira de Macedo (edição em dois volumes de 1947 da Biblioteca Cosmos).

 

CONSTRUÇÃO DE UM PENTÁGONO REGULAR DADO O LADO (applet no Livro GeoGebra)
1. Dado o lado [AB] do pentágono, determinamos o seu ponto médio, M;
2. Pelo ponto B, desenhamos uma perpendicular a [AB];
3. Com centro em B e abertura até A, desenhamos um arco que, ao intersectar a perpendicular, define o ponto P;
4. Com centro em M e abertura até P, desenhamos um arco de circunferência, definindo o ponto G, ao intersectar a recta AB (a distância entre A e G corresponde ao comprimento da diagonal do pentágono);
5. Com centro em A e abertura até G, desenhamos um arco para cima de [AB];
6. Prolongando o arco de centro em B e abertura até A, definimos o vértice C, ao intersectar o arco anterior;
7. Com centro em A e abertura até B, desenhamos um arco de circunferência, a que pertencerá o vértice E;
8. Prolongamos o arco de circunferência de centro em M até definir o ponto H, na intersecção com a recta que contém [AB];
9. Desenhamos um arco de circunferência de centro em B e abertura até H, que ao intersectar o arco de circunferência anterior, define o vértice E;
9. A intersecção dos arcos maiores de centro em A e em B corresponde ao vértice D do pentágono;
10. Unindo os vértices A, B, C, D e E, definimos o pentágono regular pedido.

 


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