O matemático francês Pierre Varignon (1654-1722) concluiu que a figura definida pelos pontos médios de qualquer quadrângulo é sempre um paralelogramo, de lados paralelos às suas diagonais. A área do paralelogramo corresponde sempre a metade da área do quadrângulo.

As construções dinâmicas seguintes, realizadas com o programa de geometria dinâmica C.a.R.Metal, pretendem demonstrar este teorema. Pode parar a animação clicando no desenho e, seleccionando a ferramenta mover, movimentar alguns dos elementos desenhados.

Se seleccionar a ferramenta de animação, pode verificar as várias configurações do paralelogramo de Varignon:

- se [ABCD] for cíclico (isto é, de vértices concíclicos e inscritível numa circunferência), selecionando o vértice D e clicando duas vezes na circunferência que contém o ponto M1;

- se [ABCD] não for cíclico, selecionando o vértice D e clicando duas vezes na circunferência que contém M2 (o raio desta circunferência pode ser alterado movimentando M2);

- se [ABCD] for reentrante (quando uma das diagonais está no interior do quadrângulo e a outra no exterior);

- se [ABCD] for cruzado (quando as duas diagonais estão no exterior da figura).

As construções seguintes comprovam a validade do teorema para diferentes configurações de quadrângulos:

- Se [ABCD] for um deltóide ou papagaio (quadrângulo convexo de diagonais perpendiculares, com pares de lados adjacentes iguais. Uma das diagonais divide o papagaio em dois triângulos isósceles, enquanto a outra diagonal o divide em dois triângulos congruentes. Os ângulos entre os lados de dimensão diferente são iguais):

- Se [ABCD] for um deltoide ou papagaio cíclico (quadrângulo convexo de diagonais perpendiculares, com pares de lados adjacentes iguais e de vértices concíclicos)

- Se [ABCD] for um quadrângulo tangencial (no qual se inscreve uma circunferência tangente a todos os seus lados):

- Se [KLMN] for um quadrângulo bicêntrico (simultaneamente cícilico e tangencial):

CONSTRUÇÃO PASSO-A-PASSO DE UM QUADRÂNGULO BICÊNTRICO

Esta construção é ligeiramente mais complexa do que as anteriores, exigindo que a iniciemos pela construção de um outro quadrângulo [ABCD], que nos permitirá desenhar depois o quadrângulo [KLMN] simultaneamente circunscritível e inscritível, atendendo aos seguintes passos:

1. Começamos pelo quadrângulo cíclico ortodiagonal [ABCD], cujas diagonais se intersectam em P;

2. Desenhamos as suas maltitudes m1, m2, m3 e m4 (perpendiculares aos lados do quadrângulo, passando pelos pontos médios de lados opostos);

3. Determinamos os pontos K, L, M e P, de intersecção entre estas e os lados de [ABCD];

Podemos verificar que [KLMN] é tangencial se desenharmos, com centro em P, a circunferência tangente a cada um dos seus lados.

E poderemos ainda concluir que [KLMN] é cíclico, se unirmos os pontos médios dos lados opostos de [ABCD], definindo o ponto G, centro da circunferência que circunscreve [KLMN].

A construção dinâmica seguinte, realizada com o programa de geometria dinâmica GeoGebra, pretende exemplificar a construção passo-a-passo de um quadrângulo bicêntrico. Para controlar a sequência da construção, basta accionar a barra de navegação situada na barra inferior da construção.

Note-se que:

- LM2, MM3, NM4 e KM1 são as bissectrizes dos ângulos de vértice em L, M, N e K, respectivamente;

- P é o ponto situado a igual distância dos lados de [KLMP], logo, o seu Incentro

- o circuncentro de [KLMP] coincide com a intersecção das diagonais de [ABCD].

Observe-se ainda que as quatro maltitudes de um quadrângulo só serão concorrentes se este for cíclico, chamando-se o seu ponto de intersecção Anticentro.

Fontes consultadas:

• http://mathworld.wolfram.com
• http://www.geometrias.blogspot.com
• Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S. L. Geometry revisited, The Mathematical Assoc. of America, 1967
• Veloso, Eduardo Geometria: Temas actuais - Instituto de Inovação Educacional, 2000
• King, James R. e Schattschneider, Doris (editores) “Geometria Dinâmica” (selecção de textos do livro “Geometry Turned On” by The Mathematical Association of America), Associação de Professores de Matemática, 2003